Lerne zuerst, jede Aufgabe zu lösen, dann lerne, sie schneller zu lösen

Schulbildung ist oft so aufgebaut, als ob die Hauptaufgabe des Schülers darin bestünde, sich so viele richtige Lösungswege wie möglich zu merken.

Für jeden Objekttyp werden eigene Namen eingeführt. Für jede Kombination von Eigenschaften – separate Merkmale. Für jeden häufigen Fall – eine spezielle Formel.

Der Schüler merkt sich:

• wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet;
• wie man eine quadratische Gleichung löst;
• wie man eine gleichförmige Bewegung berechnet;
• wie man die Stromstärke bestimmt;
• wie man eine chemische Reaktion eines bestimmten Typs ausgleicht.

Solange die Aufgabe einem Beispiel aus dem Lehrbuch ähnelt, funktioniert das System. Aber es reicht aus, die Bedingungen ein wenig zu ändern, den gewohnten Namen wegzulassen oder zusätzliche Daten hinzuzufügen – und der Schüler versteht bereits nicht mehr, welche Formel angewendet werden muss.

Er kennt eine Vielzahl von Lösungen, beherrscht jedoch keine allgemeine Methode zur Konstruktion einer Lösung.

Das Wissen über Sonderfälle erzeugt die Illusion von Universalität

Angenommen, ein Kind kennt die Formeln für den Flächeninhalt eines Rechtecks, Dreiecks, Parallelogramms, Raute und Trapezes.

Dies erzeugt das Gefühl, dass es weiß, wie man den Flächeninhalt von Polygonen findet. Aber wenn ein unregelmäßiges Siebeneck vor ihm liegt, funktioniert das vertraute System nicht mehr.

Die Figur ähnelt keiner gelernten Vorlage. Sie hat keinen passenden Namen. Im Gedächtnis findet sich keine spezielle Formel.

Obwohl der Flächeninhalt nach wie vor auf universelle Weise bestimmt werden kann:

• die Figur in Dreiecke zerlegen;
• die Koordinaten der Eckpunkte festlegen und die Shoelace-Formel (Gaußsche Trapezformel) anwenden;
• den Bereich in bekannte Teile zerlegen, indem man ihre Flächen addiert und subtrahiert.

Spezielle Formeln waren nicht nutzlos. Sie ermöglichten es, einzelne Aufgaben schnell zu lösen. Aber dem Schüler wurden Optimierungen gegeben, bevor man ihm das Fundament gab, das diese Optimierungen verkürzen.

Infolgedessen kann er bekannte Aufgaben schnell und unbekannte Aufgaben nicht langsam lösen.

Zuerst braucht man eine Methode, die fast immer funktioniert

Effektives Lernen sollte mit einem minimalen universellen Werkzeugkasten beginnen.

Ein solcher Werkzeugkasten ist vielleicht nicht der schnellste. Er erfordert möglicherweise mehr Aktionen, Berechnungen und Zeit. Aber er muss es dem Schüler ermöglichen, sich eigenständig einer möglichst breiten Klasse von Aufgaben zu nähern.

Für Polygone könnte ein solcher Kern sein:

1. Darstellung der Figur durch eine Folge von Eckpunkten.
2. Messung von Abständen zwischen Punkten.
3. Bestimmung von Winkeln und Richtungen.
4. Überprüfung auf Gleichheit, Parallelität und Senkrechtrecht (Orthogonalität).
5. Zerlegung einer komplexen Figur in einfache Teile.
6. Berechnung des Umfangs als Summe der Seitenlängen.
7. Berechnung der Fläche einer beliebigen Kontur.
8. Überprüfung des Ergebnisses auf eine andere verfügbare Weise.

Mit diesem Set ausgerüstet, wird das Kind in der Lage sein, ein Dreieck, Viereck oder Zwanzigeck zu untersuchen, selbst wenn es noch nie zuvor auf dessen Namen gestoßen ist.

Vielleicht erweist sich seine Lösung als lang und ineffizient. Aber sie wird existieren.

Das ist grundlegend wichtiger als die Fähigkeit, augenblicklich nur die Aufgabe zu lösen, deren Form das Lehrbuch im Voraus vorgesehen hat.

Optimierung sollte eine bereits verstandene Lösung verkürzen

Wenn die universelle Methode gemeistert ist, beginnt der Schüler, sich wiederholende Eigenschaften zu bemerken.

Zum Beispiel kann der Flächeninhalt jedes Rechtecks mit einer universellen Methode gefunden werden – durch Zerlegen in Dreiecke oder Anwenden der Koordinatenformel. Wenn jedoch die Seiten des Rechtecks senkrecht zueinander stehen und die Längen a und b haben, können alle Berechnungen verkürzt werden zu:

S = ab

Nun sieht diese Formel nicht mehr aus wie eine unabhängige Regel, die man sich merken muss.

Der Schüler versteht:

• für welchen Satz von Eigenschaften sie funktioniert;
• aus welcher allgemeinen Methode sie abgeleitet wird;
• welche Berechnungen sie verkürzt;
• warum sie nicht ohne Überprüfung auf ein beliebiges Viereck angewendet werden kann;
• was zu tun ist, wenn er die Formel vergisst.

Die kurze Formel wird nicht zur Grundlage des Verständnisses, sondern zu einer Optimierung einer bereits bekannten Lösung.

Eine solche Reihenfolge ist stabiler:

universelle Methode → sich wiederholende Eigenschaften → Gesetzmäßigkeit → kurze Formel

Anstelle des gewohnten:

Objektname → fertige Formel → typische Aufgabe

Namen sind komprimierte Bedingungenmengen

Ähnlich verhält es sich mit Begriffen.

Das Wort „Rechteck“ erzeugt kein spezielles geometrisches Objekt. Es teilt kompakt eine Reihe von Einschränkungen mit:

• vor uns liegt ein Viereck;
• alle seine Winkel sind rechtwinklig.

Aus diesen Bedingungen können andere Eigenschaften abgeleitet werden: Parallelität und Gleichheit der gegenüberliegenden Seiten, Gleichheit der Diagonalen und Methoden zur Flächenberechnung.

Dabei kann ein Rechteck zusätzliche Eigenschaften besitzen. Wenn alle seine Seiten gleich sind, ist es gleichzeitig ein Quadrat, eine Raute, ein Parallelogramm und ein Viereck.

Der Name beschreibt das Objekt nicht unbedingt vollständig. Er teilt nur jene Garantien mit, die für eine bestimmte Ebene der Argumentation erforderlich sind.

In diesem Sinne ähnelt ein Begriff einem komprimierten Datensatz:

Viereck + vier rechte Winkel = Rechteck

Aber der Schulunterricht stellt diese Abhängigkeit oft auf den Kopf.

Zuerst wird dem Kind ein charakteristisches Bild gezeigt und sein Name genannt. Dann wird es gebeten, sich die darauf bezogenen Eigenschaften zu merken. Aus diesem Grund entsteht der falsche Eindruck, als sei die Figur ein Rechteck, eine Raute oder ein Trapez, weil sie entsprechend aussieht.

Ein natürlicherer Weg sieht anders aus:

1. Daten über das Objekt erhalten.
2. Seine Eigenschaften messen oder berechnen.
3. Die Erfüllung bestimmter Bedingungen überprüfen.
4. Schlussfolgerungen aus den entdeckten Eigenschaften ziehen.
5. Gegebenenfalls den Namen der entsprechenden Klasse finden.

Dann wird der Begriff zum Ergebnis einer Untersuchung und zu einer bequemen Art der Informationsübertragung, anstatt zu einem Passwort für den Zugriff auf eine auswendig gelernte Formel.

Nicht jedes nützliche Wissen muss im Gedächtnis behalten werden

Lehrpläne behandeln das gesamte Wissen oft fast gleich. Wenn ein Begriff oder eine Formel in das Lehrbuch aufgenommen wird, wird angenommen, dass der Schüler sie lernen und auswendig lernen muss.

Aber unterschiedliches Wissen erfüllt unterschiedliche Funktionen.

Es ist sinnvoll, sie in mindestens drei Ebenen zu unterteilen:

Ebene	Zweck
Universeller Kern	Ermöglicht die Untersuchung einer möglichst breiten Klasse von Objekten unter bekannten Anwendbarkeitsbedingungen
Optimierungen	Beschleunigen die Lösung häufiger oder strukturierter Fälle
Nachschlagewerk	Speichert seltene Namen, Merkmale, Formeln und spezialisierte Methoden

Der universelle Kern muss obligatorisch sein. Ohne ihn bleibt der Mensch von vorher bekannten Vorlagen abhängig.

Optimierungen sollten studiert werden, nachdem ein verständliches Bedürfnis nach ihnen entstanden ist. Dann versteht der Schüler nicht nur die Formel selbst, sondern auch den Grund für ihre Existenz.

Das Nachschlagewerk muss nicht ständig im Gedächtnis behalten werden. Es reicht aus zu wissen:

• dass eine solche Methode existiert;
• welches Problem sie löst;
• wo man sie findet;
• welche Einschränkungen sie hat;
• wie man die Korrektheit der Anwendung überprüft.

Die Fähigkeit, seltenes Wissen schnell wiederherzustellen oder zu finden, ist oft nützlicher als die Fähigkeit, es jahrelang ohne Anwendung zu speichern.

Jedes obligatorische Wissen muss seine Kosten rechtfertigen

Jeder neue Begriff oder jede neue Methode erfordert Zeit.

Es ist notwendig:

• sie zum ersten Mal zu verstehen;
• sie mit bereits bekannten Ideen zu verknüpfen;
• zu lernen, sie richtig anzuwenden;
• sie von ähnlichen Methoden zu unterscheiden;
• sie im Gedächtnis zu behalten;
• sie regelmäßig zu wiederholen.

Daher reicht es nicht zu sagen, dass ein bestimmtes Wissen an sich wahr oder interessant ist. Um es in den obligatorischen Lernkern aufzunehmen, muss man verstehen, welche Funktion es erfüllt.

Ein neuer Begriff, eine neue Formel oder Methode muss mindestens eines der folgenden liefern:

• die Klasse der lösbaren Aufgaben erweitern;
• die Anzahl der Berechnungen verringern;
• die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers senken;
• die Genauigkeit erhöhen;
• wesentliche Eigenschaften kompakt übertragen;
• den Beweis der Korrektheit ermöglichen;
• helfen, das verwendete Werkzeug zu verstehen oder zu kontrollieren.

Wenn das Material nichts davon liefert, muss es nicht vollständig ausgeschlossen werden. Aber vielleicht liegt sein richtiger Platz nicht im obligatorischen Gedächtnis, sondern in der Referenzschicht.

Der Nutzen des Wissens sollte mit den Kosten seiner Aneignung verglichen werden.

Ein seltenes Wort, das leicht zu finden ist und keine neuen Methoden eröffnet, hat möglicherweise einen geringen Bildungswert. Ein einfaches universelles Prinzip, das in Dutzenden verschiedener Bereiche anwendbar ist, jedoch einen sehr hohen.

Dieses Prinzip gilt nicht nur für die Geometrie

In der Algebra kann der universelle Kern sein:

• die Konzepte von Variable und Gleichheit;
• zulässige Transformationen;
• das System von Einschränkungen;
• Funktionen;
• Überprüfung der Lösung durch Substitution.

Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung wird dann zu einem spezialisierten Algorithmus für Ausdrücke einer bestimmten Struktur und nicht zu einer magischen Symbolfolge.

In der Physik können die Grundlage sein:

• Größen und Maßeinheiten;
• Zustand des Objekts;
• Änderung;
• Wechselwirkung;
• Erhaltungssätze;
• Bezugssystem;
• Messunsicherheit (Fehler).

Die Formel s = vt wird in einem solchen Ansatz sofort als Abkürzung für den Sonderfall betrachtet, in dem die Geschwindigkeit konstant ist, und nicht als universelles Gesetz jeder Bewegung.

In der Informatik besteht der Kern aus:

• Daten;
• Zustand;
• Bedingungen;
• Sequenzen;
• Schleifen;
• Funktionen;
• Algorithmen;
• Korrektheit;
• Rechenkomplexität.

Konkrete Sprachen, Bibliotheken und Programmierschnittstellen werden zu austauschbaren Werkzeugen auf dieser Grundlage.

Dieselbe Architektur wiederholt sich in verschiedenen Disziplinen:

universelles Modell → allgemeine Methode → Anwendbarkeitsbedingungen → spezielle Optimierungen → Automatisierung → Überprüfung

Computer und KI machen diesen Ansatz noch wichtiger

Früher konnte die Notwendigkeit, sich viele spezielle Formeln zu merken, damit gerechtfertigt werden, dass der Mensch Berechnungen selbst durchführen musste.

Heutzutage kann ein wesentlicher Teil der Berechnungen Programmen und KI anvertraut werden. Ein intellektuelles System ist in der Lage, ein Objekt zu erkennen, einen Algorithmus auszuwählen, Tausende von Operationen auszuführen und mehrere Lösungsoptionen zu überprüfen.

Das macht das Verständnis nicht überflüssig. Aber es ändert seinen Zweck.

Von einem Menschen wird immer weniger verlangt, mit einem Computer in der Geschwindigkeit manueller Berechnungen zu konkurrieren. Es ist viel wichtiger zu verstehen:

• was genau gerade berechnet wird;
• welche Daten verwendet wurden;
• welche Annahmen getroffen wurden;
• ob die gewählte Methode anwendbar ist;
• wie genau das Ergebnis ist;
• ob es der ursprünglichen Aufgabe widerspricht.

Der universelle Kern ermöglicht es, diese Fragen zu stellen. Spezielle Formeln ohne allgemeines Verständnis tun dies nicht.

Wenn ein Mensch nur eine fertige Vorlage kennt, ist er von der Übereinstimmung der neuen Aufgabe mit dem alten Beispiel abhängig. Wenn er das allgemeine Modell versteht, kann er eine unbekannte Situation eigenständig untersuchen oder ein externes Werkzeug sinnvoll nutzen.

Ein Lernender muss fähig sein, langsam zu sein

Eines der Hauptkriterien für gutes Lernen lässt sich wie folgt formulieren:

Zuerst muss ein Mensch lernen, eine unbekannte Aufgabe langsam zu lösen. Erst danach macht es Sinn, ihm beizubringen, bekannte Aufgaben schnell zu lösen.

Die langsame universelle Methode bietet Unabhängigkeit von Vorlagen.

Der Schüler mag den Namen der Figur, die Formel oder ein spezielles Merkmal vergessen, ist aber dennoch in der Lage:

1. Das Objekt durch bekannte Elemente darzustellen.
2. Verfügbare Daten zu bestimmen.
3. Grundlegende Operationen anzuwenden.
4. Notwendige Eigenschaften zu erhalten.
5. Eine Lösung zu finden.
6. Das Ergebnis zu überprüfen.

Wenn ein solches Fundament existiert, wird spezielles Wissen wirklich nützlich. Sie beschleunigen die Arbeit, ersetzen jedoch nicht die Fähigkeit zum logischen Denken.

Ohne dieses Fundament bringt die Bildung einen Menschen hervor, der die richtigen Antworten auf viele im Voraus vorbereitete Fragen kennt, aber nicht weiß, wie er handeln soll, wenn die Frage anders formuliert ist.

Das Ziel des Lernens ist nicht die maximale Menge an Wissen

Die Effektivität von Bildung kann nicht nur an der Anzahl der gelernten Begriffe, Formeln und Themen gemessen werden.

Mehr Material schafft nicht unbedingt mehr Möglichkeiten. Manchmal erhöht es nur die Belastung des Gedächtnisses und verbirgt eine kleine Anzahl allgemeiner Gesetzmäßigkeiten unter einer Vielzahl spezieller Namen.

Ein vernünftigeres Ziel des Lernens ist es, ein System zu formen, in dem ein Mensch weiß, wie man:

• ein unbekanntes Objekt untersucht;
• sein Modell baut;
• universelle Methoden anwendet;
• sich wiederholende Eigenschaften bemerkt;
• daraus kürzere Lösungen ableitet;
• seltenes Wissen bei Bedarf findet;
• Berechnungen an geeignete Werkzeuge überträgt;
• das erhaltene Ergebnis überprüft.

Dann hört das Wissen auf, eine Sammlung fertiger Antworten zu sein.

Es wird zu einem erweiterbaren System:

Verständnis → Lösung → Gesetzmäßigkeit → Optimierung → neue Ebene des Verständnisses

Genau dieses System ermöglicht es dem Menschen, nicht nur bereits Gelerntes zu reproduzieren, sondern auch das zu meistern, was ihm niemand im Voraus beigebracht hat.