Önce herhangi bir problemi çözmeyi öğren, sonra daha hızlı çözmeyi öğren

Okul eğitimi genellikle, öğrencinin temel görevinin mümkün olduğunca çok doğru çözüm yolu ezberlemek olduğu varsayımıyla kurgulanmıştır.

Her nesne türü için kendi adları tanıtılır. Her özellik kombinasyonu için ayrı nitelikler. Her yaygın durum için özel bir formül.

Öğrenci ezberler:

• bir dikdörtgenin alanı nasıl bulunur;
• ikinci dereceden bir denklem nasıl çözülür;
• düzgün hareket nasıl hesaplanır;
• akım şiddeti nasıl belirlenir;
• belirli türdeki bir kimyasal reaksiyon nasıl denkleştirilir.

Problem ders kitabındaki bir örneğe benzediği sürece sistem çalışır. Ancak koşulları biraz değiştirmek, alışılmış adı kaldırmak veya fazladan veri eklemek yeterlidir — ve öğrenci artık hangi formülün uygulanması gerektiğini anlamaz.

Pek çok çözümü bilir, ancak bir çözüm inşa etmenin genel yöntemine sahip değildir.

Özel durumları bilmek evrensellik ilüzyonu yaratır

Diyelim ki çocuk dikdörtgenin, üçgenin, paralelkenarın, eşkenar dörtgenin ve yamuğun alan formüllerini biliyor.

Bu, çokgenlerin alanını bulabildiği hissiyatını yaratır. Ancak karşısına düzensiz bir yedigen çıkarsa tanıdık sistem çalışmayı bırakır.

Şekil incelenen hiçbir şablona benzemez. Uygun bir adı yoktur. Hafızada özel bir formül bulunmaz.

Oysa alan evrensel yollarla hala belirlenebilir:

• şekli üçgenlere ayırmak;
• köşelerin koordinatlarını belirleyip sicim (shoelace) yöntemini uygulamak;
• alanı bilinen parçalara ayırıp alanlarını toplayıp çıkararak hesaplamak.

Özel formüller yararsız değildi. Tekil problemleri hızlıca çözmeyi sağlıyorlardı. Ancak öğrenciye, bu optimizasyonların kısalttığı temel verilmeden önce optimizasyonlar verildi.

Sonuç olarak, tanıdık problemleri hızlı bir şekilde çözmeyi biliyor, ancak tanıdık olmayan problemleri yavaş bir şekilde çözmeyi bilmiyor.

Önce neredeyse her zaman çalışan bir yöntem gerekir

Etkili öğrenme, minimum evrensel araç setiyle başlamalıdır.

Böyle bir araç seti en hızlısı olmayabilir. Daha fazla işlem, hesaplama ve zaman gerektirebilir. Ancak öğrencinin çok geniş bir problem sınıfına kendi başına yaklaşmasına izin vermelidir.

Çokgenler için böyle bir çekirdek şunlar olabilir:

1. Şekli köşe dizisi olarak temsil etmek.
2. Noktalar arasındaki mesafeleri ölçmek.
3. Açıları ve yönleri belirlemek.
4. Eşitlik, paralellik ve dikliği kontrol etmek.
5. Karmaşık bir şekli basit parçalara ayırmak.
6. Çevreyi kenar uzunluklarının toplamı olarak hesaplamak.
7. İsteğe bağlı bir konturun alanını hesaplamak.
8. Sonucu başka bir erişilebilir yolla kontrol etmek.

Bu sete sahip olan bir çocuk, daha önce adını hiç duymamış olsa bile bir üçgeni, dörtgeni veya yirmigeni inceleyebilir.

Belki de çözümü uzun ve verimsiz olacaktır. Ancak var olacaktır.

Bu, ders kitabının önceden öngördüğü şekle sahip olan bir problemi anında çözme yeteneğinden ilkesel olarak çok daha önemlidir.

Optimizasyon, halihazırda anlaşılmış bir çözümü kısaltmalıdır

Evrensel yöntem öğrenildiğinde, öğrenci tekrarlanan özellikleri fark etmeye başlar.

Örneğin, herhangi bir dikdörtgenin alanı evrensel yöntemle bulunabilir — onu üçgenlere bölmek veya koordinat formülünü uygulamak. Ancak dikdörtgenin kenarları dik konumda ve uzunlukları a ve b ise, tüm hesaplamalar şuna indirgenebilir:

S = ab

Artık bu formül, ezberlenmesi gereken bağımsız bir kural gibi görünmez.

Öğrenci şunları anlar:

• hangi özellikler seti için çalıştığını;
• hangi genel yöntemden türetildiğini;
• hangi hesaplamaları kısalttığını;
• neden rastgele bir dörtgene kontrol edilmeden uygulanamayacağını;
• formülü unutursa ne yapması gerektiğini.

Kısa formül, anlamanın temeli değil, zaten bilinen bir çözümün optimizasyonu haline gelir.

Bu sıralama daha sürdürülebilirdir:

evrensel yöntem → tekrarlanan özellikler → yasa → kısa formül

Alışılmış olanın yerine:

nesne adı → hazır formül → tipik problem

Adlar sıkıştırılmış koşul setleridir

Benzer bir rolü terimler oynar.

«Dikdörtgen» kelimesi özel bir geometrik nesne yaratmaz. Kompakt bir şekilde kısıtlamalar setini bildirir:

• karşımızda bir dörtgen var;
• tüm açıları dik.

Bu koşullardan diğer özellikler türetilebilir: karşı kenarların paralelliği ve eşitliği, köşegenlerin eşitliği ve alan hesaplama yöntemleri.

Ayrıca dikdörtgen ek özelliklere sahip olabilir. Tüm kenarları eşitse, aynı zamanda bir kare, eşkenar dörtgen, paralelkenar ve dörtgendir.

Ad, nesneyi tamamen tanımlamak zorunda değildir. Yalnızca belirli bir akıl yürütme düzeyi için gereken garantileri bildirir.

Bu anlamda terim, sıkıştırılmış bir kayda benzer:

dörtgen + dört dik açı = dikdörtgen

Ancak okul eğitimi genellikle bu bağımlılığı tersine çevirir.

Önce çocuğa karakteristik resim gösterilir ve adı söylenir. Ardından buna ait özellikleri ezberlemesi istenir. Bu yüzden, figürün dikdörtgen, eşkenar dörtgen veya yamuk olduğu çünkü o şekilde göründüğüna dair yanlış bir algı ortaya çıkar.

Daha doğal yol farklı görünür:

1. Nesne hakkında veri elde etmek.
2. Özelliklerini ölçmek veya hesaplamak.
3. Belirli koşulların sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek.
4. Keşfedilen özelliklerden sonuçlar çıkarmak.
5. Gerekirse ilgili sınıfın adını bulmak.

O zaman terim, ezberlenmiş bir formüle erişim şifresi değil, bir araştırma sonucu ve uygun bir bilgi aktarım yolu haline gelir.

Yararlı olan her bilgiyi hafızada tutmak gerekmez

Müfredatlar genellikle tüm bilgilere neredeyse aynı şekilde yaklaşır. Bir terim veya formül ders kitabına dahil edilmişse, öğrencinin bunu incelemesi ve ezberlemesi gerektiği varsayılır.

Ancak farklı bilgiler farklı işlevler yerine getirir.

Bunları en az üç düzeyde ayırmak yararlıdır:

Düzey	Amaç
Evrensel çekirdek	Bilinen uygulanabilirlik koşulları altında en geniş nesne sınıfını incelemeye izin verir
Optimizasyonlar	Sık veya yapılandırılmış durumların çözümünü hızlandırır
Başvuru kaynağı (Referans)	Nadir adları, nitelikleri, formülleri ve özel yöntemleri saklar

Evrensel çekirdek zorunlu olmalıdır. Onsuz insan, önceden bilinen şablonlara bağımlı kalır.

Optimizasyonlar, bunlara yönelik anlaşılır bir ihtiyaç ortaya çıktıktan sonra incelenmelidir. O zaman öğrenci yalnızca formülün kendisini değil, var oluş nedenini de anlar.

Referans materyalini sürekli hafızada tutmak zorunlu değildir. Şunları bilmek yeterlidir:

• böyle bir yöntemin var olduğunu;
• hangi problemi çözdüğünü;
• nerede bulunabileceğini;
• hangi kısıtlamalara sahip olduğunu;
• uygulamanın doğruluğunun nasıl kontrol edileceğini.

Nadir bir bilgiyi hızlı bir şekilde yeniden oluşturma veya bulma yeteneği, onu yıllarca kullanmadan hafızada tutma yeteneğinden genellikle daha yararlıdır.

Her zorunlu bilgi maliyetini haklı çıkarmalıdır

Her yeni terim veya yöntem zaman gerektirir.

Şunlar yapılmalıdır:

• önce anlaşılmalı;
• zaten bilinen fikirlerle ilişkilendirilmeli;
• doğru uygulanması öğrenilmeli;
• benzer yöntemlerden ayırt edilmeli;
• hafızada tutulmalı;
• periyodik olarak tekrarlanmalı.

Bu nedenle, belirli bir bilginin kendi başına doğru veya ilginç olduğunu söylemek yeterli değildir. Eğitimin zorunlu çekirdeğine dahil etmek için hangi işlevi yerine getirdiğini anlamak gerekir.

Yeni bir terim, formül veya yöntem aşağıdakilerden en az birini sağlamalıdır:

• çözülen problemlerin sınıfını genişletmek;
• hesaplama miktarını azaltmak;
• hata olasılığını düşürmek;
• doğruluğu artırmak;
• temel özellikleri kompakt bir şekilde aktarmak;
• doğruluğu kanıtlamaya izin vermek;
• kullanılan aracın anlaşılmasına veya kontrol edilmesine yardımcı olmak.

Materyal bunlardan hiçbirini sağlamıyorsa, tamamen dışlanması gerekmez. Ancak belki de doğru yeri zorunlu hafıza değil, referans katmanıdır.

Bilginin yararlılığı, edinilme maliyetiyle karşılaştırılmalıdır.

Bulunması kolay olan ve yeni yöntemler açmayan nadir bir terimin eğitim değeri düşük olabilir. Onlarca farklı alanda uygulanabilen basit bir evrensel ilke ise çok yüksektir.

Bu ilke yalnızca geometriye uygulanamaz

Cebirde evrensel çekirdek şunlar olabilir:

• değişken ve eşitlik kavramları;
• izin verilen dönüşümler;
• kısıtlamalar sistemi;
• fonksiyonlar;
• çözümü yerine koyarak kontrol etme.

İkinci dereceden denklemin kökleri formülü o zaman sihirli bir semboller dizisi değil, belirli bir yapudaki ifadeler için uzmanlaşmış bir algoritma haline gelir.

Fizikte temel şunlar olabilir:

• nicelikler ve ölçü birimleri;
• nesnenin durumu;
• değişim;
• etkileşim;
• korunum yasaları;
• referans sistemi;
• hata payı.

Böyle bir yaklaşımda s = vt formülü, herhangi bir hareketin evrensel yasası olarak değil, hızın sabit olduğu özel durum için bir kısaltma olarak hemen ele alınır.

Bilişimde çekirdeği şunlar oluşturur:

• veri;
• durum;
• koşullar;
• diziler (sekanslar);
• döngüler;
• fonksiyonlar;
• algoritmalar;
• doğruluk (korrektlik);
• hesaplama karmaşıklığı.

Somut diller, kütüphaneler ve yazılım arayüzleri bu temel üzerinde değiştirilebilir araçlar haline gelir.

Aynı mimari farklı disiplinlerde tekrarlanır:

evrensel model → genel yöntem → uygulanabilirlik koşulları → özel optimizasyonlar → otomasyon → kontrol

Bilgisayarlar ve Yapay Zeka bu yaklaşımı daha da önemli kılıyor

Eskiden birçok özel formülü hatırlama zorunluluğu, insanın hesaplamaları kendi başına yapması gerektiğiyle haklı çıkarılabilirdi.

Günümüzde hesaplamaların önemli bir kısmı programlara ve yapay zekaya emanet edilebilir. Entelektüel sistem bir nesneyi tanıma, algoritma seçme, binlerce işlem gerçekleştirme ve birkaç çözüm varyantını kontrol etme kapasitesine sahiptir.

Bu, anlamayı gereksiz kılmaz. Ancak amacını değiştirir.

İnsanın manuel hesaplama hızında bilgisayarla yarışması giderek daha az gereklidir. Şunları anlamak çok daha önemlidir:

• şu anda tam olarak ne hesaplanıyor;
• hangi veriler kullanıldı;
• hangi varsayımlar yapıldı;
• seçilen yöntem uygulanabilir mi;
• sonuç ne kadar doğru;
• orijinal problemle çelişiyor mu.

Evrensel çekirdek bu soruları sormaya izin verir. Genel bir anlayış olmadan özel formüller ise vermez.

İnsan yalnızca hazır şablonu biliyorsa, yeni problemin eski örnekle çakışmasına bağımlıdır. Genel modeli anlıyorsa, bilinmeyen durumu kendi başına inceleyebilir veya harici bir aracı anlamlı bir şekilde kullanabilir.

Öğrenci yavaş olabilmeyi bilmelidir

İyi bir eğitimin temel kriterlerinden biri şöyle formüle edilebilir:

Önce insan bilinmeyen bir problemi yavaşça çözmeyi öğrenmelidir. Yalnızca bundan sonra ona tanıdık problemleri hızlıca çözmesini öğretmek mantıklıdır.

Yavaş evrensel yöntem şablonlardan bağımsızlık sağlar.

Öğrenci figürün adını, formülü veya özel niteliği unutabilir, ancak yine de şunları yapabilir:

1. Nesneyi bilinen öğeler aracılığıyla temsil etmek.
2. Mevcut verileri belirlemek.
3. Temel işlemleri uygulamak.
4. Gerekli özellikleri elde etmek.
5. Çözümü bulmak.
6. Sonucu kontrol etmek.

Böyle bir temel mevcut olduğunda, özel bilgiler gerçekten yararlı hale gelir. Çalışmayı hızlandırır, ancak akıl yürütme yeteneğinin yerini almaz.

Bu temel olmadan eğitim; önceden hazırlanmış pek çok soruya doğru cevapları bilen, ancak soru farklı şekilde formüle edildiğinde hareket edemeyen bir insan üretir.

Eğitimin amacı maksimum bilgi miktarı değildir

Eğitimin etkinliği yalnızca çalışılan terimlerin, formüllerin ve konuların sayısı ile ölçülemez.

Daha fazla materyal mutlaka daha fazla fırsat yaratmaz. Bazen yalnızca hafıza üzerindeki yükü artırır ve az sayıda genel düzenliliği çok sayıda özel adın altında gizler.

Eğitim için daha mantıklı bir amaç, insanın şunları bildiği bir sistem oluşturmaktır:

• bilinmeyen bir nesneyi incelemek;
• modelini oluşturmak;
• evrensel yöntemleri uygulamak;
• tekrarlanan özellikleri fark etmek;
• bunlardan daha kısa çözümler türetmek;
• nadir bilgileri gerektiği gibi bulmak;
• hesaplamaları uygun araçlara devretmek;
• elde edilen sonucu kontrol etmek.

O zaman bilgi hazır cevapların bir koleksiyonu olmaktan çıkar.

Genişletilebilir bir sistem haline gelir:

anlama → çözüm → düzenlilik → optimizasyon → yeni anlama düzeyi

İşte tam da böyle bir sistem, insanın yalnızca önceden öğrenilenleri yeniden üretmesini değil, kimsenin kendisine önceden öğretmediği şeyleri de öğrenmesini sağlar.