Polygone sollte man von allgemeinen Methoden zu speziellen Namen lernen

Das Studium von Polygonen beginnt gewöhnlich mit dem Dreieck, wonach dem Kind nacheinander immer neue Figuren gezeigt werden:

• Parallelogramm;
• Rechteck;
• Raute;
• Quadrat;
• Trapez;
• regelmäßige Polygone.

Jede Figur erhält ihren eigenen Namen, eine Definition, eine Reihe von Kriterien, eine Liste von Eigenschaften und einige spezielle Formeln.

Es wird angenommen, dass der Schüler nach der Ansammlung ausreichend solchen Wissens lernen wird, geometrische Aufgaben zu lösen.

Doch zusammen damit kann sich bei ihm ein ganz anderes Modell herausbilden:

Für jede Figur gibt es den richtigen Namen, und hinter jedem Namen verbirgt sich eine Formel, an die man sich erinnern muss.

Solange sich eine erkennbare Figur vor dem Kind befindet, funktioniert dieses System. Doch sobald man ein Quadrat dreht, ein Rechteck leicht verzerrt oder ein unregelmäßiges Vieleck zeigt, verschwinden die gewohnten Orientierungspunkte.

Das Kind kann Aufgaben über bekannte Figuren lösen, weiß aber nicht, was es mit einer beliebigen Figur anfangen soll.

Der Name einer Figur ist eine zusätzliche Bedingung der Aufgabe

Wenn in einer Aufgabe steht:

Gegeben ist ein Rechteck ABCD.

ist dies nicht nur der Name eines gezeichneten Objekts.

Im mathematischen Sinne wurde uns mitgeteilt:

• wir haben es mit einem Viereck zu tun;
• jeder seiner Innenwinkel beträgt 90°.

Aus diesen Bedingungen und zuvor bewiesenen Sätzen folgen andere Eigenschaften:

• gegenüberliegende Seiten sind parallel;
• gegenüberliegende Seiten sind gleich lang;
• Diagonalen sind gleich lang;
• Diagonalen halbieren einander;
• der Flächeninhalt lässt sich als Produkt aus Länge und Breite berechnen.

Der Name „Rechteck“ funktioniert wie ein kompakt abgespeicherter Satz von Garantien.

Viereck + vier rechte Winkel = Rechteck

Aber diese Garantien beschreiben die Figur nicht unbedingt vollständig.

Wenn bei demselben Rechteck alle Seiten gleich lang sind, haben wir ein Quadrat vor uns. Dabei hört es nicht auf, ein Rechteck zu sein.

Ein Quadrat ist gleichzeitig:

• ein Viereck;
• ein Parallelogramm;
• ein Rechteck;
• eine Raute;
• ein Quadrat.

Jeder folgende Begriff fügt neue Einschränkungen hinzu, ohne die vorherigen aufzuheben.

Viereck

+ gegenüberliegende Seiten sind parallel

= Parallelogramm

+ rechte Winkel

= Rechteck

+ gleich lange Seiten

= Quadrat

Deshalb ist es besser, die Namen von Figuren nicht als sich gegenseitig ausschließende Bildertypen aufzufassen, sondern als Etiketten für Mengen bewiesener Eigenschaften.

Anhand einer Zeichnung lassen sich Eigenschaften nicht exakt bestimmen

Eine Figur mag wie ein Rechteck aussehen, aber das beweist noch lange nicht, dass ihre Winkel genau 90° betragen.

Ein Winkel könnte 89° groß sein, und die Abbildung würde trotzdem rechteckig wirken. Gegenüberliegende Seiten scheinen vielleicht parallel zu sein, obwohl sie sich bei Verlängerung schneiden würden. Ein Quadrat kann mit einer leichten Verzerrung gezeichnet sein und eine beliebige Raute fast quadratisch aussehen.

Die Zeichnung hilft dabei, sich die Bedingung vorzustellen, ersetzt sie jedoch nicht.

Um die Eigenschaften einer Figur festzustellen, sind zusätzliche Daten erforderlich:

• Scheitelpunktkoordinaten;
• Seitenlängen;
• Winkelwerte;
• Bezeichnungen in der Zeichnung;
• Messergebnisse;
• zuvor bewiesene Beziehungen.

Das verändert die Reihenfolge des Denkprozesses grundlegend.

Anstatt:

Bild → Erkennen des Namens → Erinnern an Eigenschaften

kann man verwenden:

Daten → Messung → Überprüfung der Bedingungen → bewiesene Eigenschaften → Klassifikation

In diesem Fall erscheint der Name am Ende der Untersuchung und nicht an deren Anfang.

Zuerst ein beliebiges Polygon

Die Grundlage des Kurses kann nicht ein Quadrat, eine Raute oder ein Trapez sein, sondern ein beliebiges Polygon.

Ein Polygon lässt sich als eine Folge von Scheitelpunkten darstellen:

A₁, A₂, A₃, ..., Aₙ

Benachbarte Scheitelpunkte werden durch Seiten verbunden, und der letzte Scheitelpunkt wird mit dem ersten verbunden.

Eine solche Darstellung weist gemeinsame Elemente auf:

• Scheitelpunkte;
• Seiten;
• Innenwinkel;
• Diagonalen;
• Umfang;
• Flächeninhalt;
• Umlaufsinn;
• mögliche Überschneidungen.

Diese Elemente existieren unabhängig davon, ob die Figur einen speziellen Namen hat.

Deshalb kann man dem Kind zuerst eine Reihe von Methoden an die Hand geben, die mit jedem Polygon funktionieren, und erst danach zu speziellen Klassen übergehen.

Der Abstand zwischen zwei beliebigen Scheitelpunkten

Wenn die Koordinaten zweier Punkte bekannt sind:

A(x₁, y₁) und B(x₂, y₂),

wird der Abstand zwischen ihnen nach der universalen Formel berechnet:

AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Sie funktioniert für horizontale, vertikale und schräge Strecken.

Wenn die Strecke vertikal verläuft, stimmen die x-Koordinaten überein:

x₁ = x₂

Dann vereinfacht sich die Formel automatisch zu:

AB = |y₂ - y₁|

Wenn die Strecke horizontal verläuft, stimmen die y-Koordinaten überein:

y₁ = y₂

Und es bleibt übrig:

AB = |x₂ - x₁|

Es zeigt sich, dass ein Kind nicht zuerst drei unabhängige Regeln auswendig lernen muss. Es kann eine universelle Formel beherrschen und die kürzeren Fälle selbstständig daraus ableiten.

Hierbei wird auch die Rolle jeder Handlung klar:

• Differenzen zeigen die Verschiebung in zwei Richtungen;
• Quadrate beseitigen die Abhängigkeit vom Vorzeichen und verknüpfen rechtwinklige Verschiebungen nach dem Satz des Pythagoras;
• die Wurzel führt die quadratische Länge auf die normale Länge zurück.

Eine einzige Formel ermöglicht es:

• Seitenlängen zu finden;
• Diagonalen zu berechnen;
• die Gleichheit von Strecken zu überprüfen;
• den Umfang zu ermitteln;
• gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke zu entdecken;
• einzelne Eigenschaften von Vierecken zu überprüfen.

Richtungen statt visuellem Erkennen

Für jede Seite lässt sich eine Richtung bestimmen.

Wenn die Punkte bekannt sind:

A(x₁, y₁) und B(x₂, y₂),

dann hat der Seitenvektor die Form:

AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)

Durch den Vergleich der Richtungen zweier Seiten kann man prüfen, ob sie parallel sind.

Für Vektoren:

u = (a, b) und v = (c, d)

bedeutet die Bedingung:

ad - bc = 0

dass die Richtungen parallel sind.

Die Senkrechtstellung lässt sich über das Skalarprodukt prüfen:

u · v = ac + bd

Wenn:

ac + bd = 0,

dann sind die Richtungen senkrecht zueinander, und der Winkel zwischen ihnen beträgt 90°.

So erhält das Kind eine universelle Methode, um zu beweisen, dass Seiten parallel sind oder einen rechten Winkel bilden. Es muss sich nicht länger auf das äußere Erscheinungsbild der Zeichnung verlassen.

Wenn bei einem Viereck vier rechte Winkel festgestellt werden, kann man es als Rechteck bezeichnen.

Stellt sich zusätzlich heraus, dass alle Seiten gleich lang sind, kann man es als Quadrat bezeichnen.

Aber der Name fügt den bereits festgestellten Tatsachen nichts hinzu. Er ermöglicht es lediglich, sie einer anderen Person kompakt zu übermitteln und bekannte Folgerungen zu nutzen.

Jedes Polygon lässt sich durch Dreiecke untersuchen

Das Dreieck nimmt in der Geometrie einen besonderen Platz ein.

Es ist das einfachste geschlossene Polygon, und jedes einfache Polygon lässt sich in Dreiecke zerlegen.

Ein Polygon mit n Scheitelpunkten lässt sich unterteilen in:

n - 2

Dreiecke.

Danach wird der Flächeninhalt der gesamten Figur als Summe der Flächeninhalte ihrer Teile ermittelt.

S = S₁ + S₂ + ... + Sₙ₋₂

Dies ist eine universelle Methode. Sie funktioniert nicht nur für Rechtecke, Rauten und Trapeze, sondern auch für Figuren, die keinen speziellen Schulnamen haben.

Dieser Ansatz ist vielleicht nicht der schnellste. Bei einer großen Anzahl von Scheitelpunkten wird es notwendig sein, viele Diagonalen zu ziehen und jedes Dreieck einzeln zu bearbeiten.

Aber genau deshalb ist es nützlich, ihn als Ersten zu studieren.

Er erklärt:

• warum man einen komplexen Flächeninhalt aus einfachen zusammensetzen kann;
• woher viele spezielle Formeln stammen;
• was zu tun ist, wenn keine fertige Formel bekannt ist;
• warum schnellere Methoden überhaupt funktionieren.

Der Schüler erhält zuerst eine zuverlässige allgemeine Methode und beginnt danach nach Wegen zu suchen, die Berechnungen zu verkürzen.

Die Schnürsenkelformel als Optimierung der allgemeinen Lösung

Wenn die Koordinaten aufeinanderfolgender Scheitelpunkte bekannt sind, lässt sich der Flächeninhalt eines einfachen Polygons mit der Schnürsenkelmethode bestimmen.

Für die Scheitelpunkte:

(x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ)

wird der Flächeninhalt wie folgt berechnet:

S = 1/2 · |Σ(xᵢyᵢ₊₁ - yᵢxᵢ₊₁)|

Nach dem letzten Scheitelpunkt wird wieder der erste verwendet:

(xₙ₊₁, yₙ₊₁) = (x₁, y₁)

Diese Methode erfordert nicht, die Figur explizit in n - 2 Dreiecke zu zerlegen. Es reicht aus, alle Scheitelpunkte einmal nacheinander zu durchlaufen.

Gleichzeitig ist die Schnürsenkelmethode keine völlig fremde Idee. Auch ihr liegen orientierte Dreiecksflächen zugrunde. Nur sind die Zwischenkonstruktionen in einen kürzeren Algorithmus zusammengefasst, und überschüssige Bereiche ziehen sich automatisch gegenseitig ab.

Daraus ergibt sich eine natürliche Lernsequenz:

1. Das Polygon in Dreiecke zerlegen.
2. Den Flächeninhalt jedes Teils berechnen.
3. Wiederkehrende Handlungen erkennen.
4. Eine Methode beherrschen, die sie in einem einzigen Durchlauf zusammenfasst.
5. Den Aufwand der beiden Lösungen vergleichen.

Hier verknüpft sich die Geometrie auf natürliche Weise mit Algorithmen und Rechenkomplexität.

Das Kind beginnt Fragen zu stellen:

• wie viele Schritte erforderlich sein werden;
• welche Daten benötigt werden;
• wie viele Zwischenobjekte konstruiert werden müssen;
• wo die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler höher ist;
• welche Methode sich leichter automatisieren lässt;
• wie schnell der Arbeitsaufwand mit wachsender Anzahl von Scheitelpunkten wächst.

Es studiert nicht mehr nur Formeln, sondern auch die Prinzipien der Methodenauswahl.

Spezielle Formeln werden zu verständlichen Abkürzungen

Nach der Beherrschung universeller Methoden kann man zu vertrauten Figuren zurückkehren.

Zum Beispiel lässt sich der Flächeninhalt eines Rechtecks immer mit der Schnürsenkelmethode berechnen. Wenn jedoch die Länge a und die Breite b bekannt sind, verkürzt sich die Berechnung auf:

S = ab

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms kann über die universelle Koordinatenmethode gefunden werden, aber bei bekannter Höhe reicht Folgendes aus:

S = ah

Der Flächeninhalt eines Trapezes lässt sich ebenfalls über Koordinaten oder eine Zerlegung in Dreiecke ermitteln. Bei bekannten Grundseiten a, b und Höhe h verkürzt sich die Berechnung auf:

S = ((a + b) / 2) · h

In dieser Reihenfolge konkurrieren spezielle Formeln nicht mit universellen Methoden und ersetzen sie auch nicht.

Sie beantworten eine verständliche Frage:

Welche Berechnungen kann man überspringen, wenn bei der Figur zusätzliche Eigenschaften entdeckt werden?

Der Schüler sieht nicht nur die Formel, sondern auch den Preis ihrer Anwendbarkeit.

Die Rechtecksformel ist kürzer als die Schnürsenkelmethode, erfordert jedoch den Nachweis oder die Annahme aus der Bedingung, dass es sich tatsächlich um ein Rechteck handelt.

Die universelle Methode ist länger, erfordert jedoch keine vorherige Klassifizierung der Figur.

Die Wahl der Methode hängt von den verfügbaren Daten ab

Der beste Lösungsweg wird nicht nur durch die Art der Figur bestimmt.

Sind Länge und Breite eines Rechtecks bekannt, ist es bequemer, Folgendes zu verwenden:

S = ab

Sind nur die Koordinaten seiner Scheitelpunkte bekannt, erweist sich die Schnürsenkelmethode möglicherweise als direkter: Es ist nicht erforderlich, Länge, Breite und Ausrichtung der Figur separat zu bestimmen.

Liegt eine Papierzeichnung ohne Koordinaten vor, kann die Figur gemessen und in Teile zerlegt werden.

Haben wir es mit einer digitalen Kontur mit einer Million Scheitelpunkten zu tun, verliert die manuelle Zerlegung ihren Sinn. Es muss ein Programm verwendet werden, das in der Lage ist, den gesamten Datensatz zu verarbeiten.

Deshalb lautet die richtige Frage nicht:

Welche Formel entspricht dem Namen dieser Figur?

Sondern:

Welche Methode nutzt die bereits vorhandenen Daten am besten?

Genau das ist der Übergang von der Reproduktion von Schulmustern zum algorithmischen Denken.

Reale Figuren besitzen selten ideale Eigenschaften

Im Lehrbuch beträgt ein Winkel entweder 90° oder eben nicht.

Bei einer realen Messung kann sich Folgendes ergeben:

89,7° ± 0,5°

Nun kann man nicht mehr einfach fragen: „Ist das ein Rechteck oder nicht?“

Zunächst muss die zulässige Abweichung bestimmt werden.

Für einen ungefähren Raumplan ist eine bestimmte Abweichung möglicherweise unerheblich. Für die Herstellung eines Präzisionsteils erweist sich dieselbe Abweichung als inakzeptabel.

Anstelle einer strikten Gleichheit tritt eine Bedingung:

|α - 90°| < ε

wobei ε die vom Ziel abhängige zulässige Abweichung ist.

Dies zeigt eine weitere Einschränkung des Lernens durch ideale benannte Figuren. Ein reales Objekt ist nicht gezwungen, exakt einer der Schulklassen anzugehören.

Universelle Methoden erlauben es, auch ohne abschließende Klassifizierung mit ihm zu arbeiten:

• alle Seiten messen;
• den Flächeninhalt berechnen;
• die Winkel abschätzen;
• den Grad der Abweichung bestimmen;
• den Messfehler angeben.

Der Name wird optional.

Wir können ein Objekt untersuchen, selbst wenn wir uns nicht entschieden haben, ob wir es als Rechteck betrachten wollen.

Der Computer soll rechnen, der Mensch die Lösung verstehen

Bei einer großen Anzahl von Scheitelpunkten wird niemand manuell die Abstandsformel auf jede Seite anwenden oder die Schnürsenkelmethode auf Papier aufschreiben.

Es ist vernünftig, diese Arbeit einem Computer oder einer KI zu übertragen.

Ein modernes System kann:

• die Kontur der Figur erkennen;
• Scheitelpunkte hervorheben;
• die Umlaufrichtung bestimmen;
• Schnittpunkte finden;
• einen Algorithmus auswählen;
• Umfang und Flächeninhalt berechnen;
• den Fehler abschätzen;
• entdeckte Eigenschaften anzeigen.

Dennoch ist es für einen Menschen weiterhin nützlich zu verstehen:

• was das System als Scheitelpunkt betrachtet;
• welche Daten es verwendet;
• ob die Kontur geschlossen ist;
• in welchen Einheiten das Ergebnis ausgegeben wurde;
• ob Löcher berücksichtigt werden;
• was bei einer Selbstüberschneidung passiert;
• warum der gewählte Algorithmus anwendbar ist;
• wie man die Plausibilität der Antwort überprüft.

Dazu muss man nicht eine Million Punkte manuell verarbeiten. Man muss den minimalen geometrischen Kern und die Funktionsweise der angewandten Methode verstehen.

Das Ziel des Lernens verändert sich.

Nicht:

Dem Menschen beizubringen, alle Berechnungen anstelle des Computers durchzuführen.

Sondern:

Dem Menschen beizubringen, das Objekt zu verstehen, die Methode auszuwählen oder zu kontrollieren und das Rechenergebnis zu überprüfen.

Wie ein anderer Polygonkurs aussehen könnte

Der Lernprozess könnte in der folgenden Reihenfolge aufgebaut sein.

1. Beliebige Figur

Das Kind erhält eine Kontur ohne speziellen Namen und lernt, Scheitelpunkte, Seiten, Diagonalen und Winkel herauszuarbeiten.

2. Universelle Messungen

Es beherrscht Koordinaten, Abstände, Richtungen, Umfang und Flächeninhalt.

3. Universelle Lösung

Es lernt, die Figur in Dreiecke zu zerlegen, und erhält eine Möglichkeit, mit jedem einfachen Polygon zu arbeiten.

4. Algorithmische Verkürzung

Mit wachsender Anzahl von Scheitelpunkten wird der hohe Aufwand der manuellen Triangulierung deutlich. Es entsteht die Schnürsenkelmethode oder deren automatisierte Entsprechung.

5. Entdeckung von Eigenschaften

Das Kind überprüft:

• welche Seiten gleich sind;
• welche Seiten parallel sind;
• wo rechte Winkel liegen;
• wie sich die Diagonalen zueinander verhalten;
• welche Eigenschaften bei verschiedenen Figuren wiederkehren.

6. Klassifikation

Für stabile Eigenschaftskombinationen werden Namen eingeführt:

• Parallelogramm;
• Rechteck;
• Raute;
• Quadrat;
• Trapez.

7. Spezielle Optimierungen

Aus den allgemeinen Methoden werden kurze Formeln für Figuren mit zusätzlichen Einschränkungen abgeleitet.

8. Automatisierung und Überprüfung

Das Kind wendet eine Tabelle, ein Programm oder KI auf Figuren mit einer großen Anzahl von Scheitelpunkten an und lernt, das erzielte Ergebnis zu überprüfen.

In einem solchen Kurs verschwinden Namen und spezielle Formeln keineswegs. Sie nehmen einfach ihren natürlichen Platz ein.

Namen sind nützlich, sollten aber nicht das Fundament sein

Begriffe ermöglichen es, große Eigenschaftsmengen schnell zu übermitteln.

Es ist bequemer zu sagen „Quadrat“, als jedes Mal aufzuzählen:

• vier Seiten;
• alle Seiten sind gleich lang;
• alle Winkel sind rechtwinklig;
• gegenüberliegende Seiten sind parallel;
• Diagonalen sind gleich lang;
• Diagonalen stehen senkrecht aufeinander;
• Diagonalen halbieren einander.

Spezialisierte Formeln sparen ebenfalls Rechenaufwand.

Das Problem entsteht nicht durch die Namen und Formeln selbst, sondern durch die Reihenfolge ihres Studiums.

Merkt sich ein Kind zuerst den Namen und versucht dann, ihn mit einer Liste von Eigenschaften zu verknüpfen, verkommt die Geometrie zu einem Katalog von Konventionen.

Erforscht es jedoch zuerst das Objekt, entdeckt Eigenschaften und stößt auf wiederkehrende Berechnungen, so werden Namen und Formeln zur Antwort auf ein bereits verstandenes Bedürfnis.

Dann:

• komprimiert „Rechteck“ einen bewiesenen Satz von Bedingungen;
• verkürzt S = ab die universelle Flächenberechnung;
• beschleunigt die Schnürsenkelmethode die Verarbeitung einer großen Anzahl von Scheitelpunkten;
• automatisiert das Programm wiederkehrende Operationen;
• hilft KI beim Übergang von der Abbildung zum mathematischen Modell.

Jede neue Ebene ersetzt die vorherige nicht, sondern optimiert sie.

Geometrie soll lehren, das Unbekannte zu erforschen

Ein Kind muss sich nicht den Namen jedes Polygons merken.

Es ist weitaus wichtiger, dass es bei der Begegnung mit einer unbekannten Figur fragen kann:

1. Aus welchen Elementen besteht sie?
2. Welche Daten sind über sie bekannt?
3. Was lässt sich messen oder berechnen?
4. Welche Eigenschaften lassen sich beweisen?
5. Welche universelle Methode ist hier anwendbar?
6. Lässt sich die Lösung dank der gefundenen Eigenschaften verkürzen?
7. Lohnt es sich, die Berechnungen manuell durchzuführen oder sie einem Werkzeug zu übergeben?
8. Wie lässt sich das erzielte Ergebnis überprüfen?

Ein solches Denken funktioniert auch dann weiter, wenn die Figur nicht mehr wie eine Schulbuchgrafik aussieht, die Anzahl der Scheitelpunkte groß ist, die Daten Fehler enthalten und die Berechnungen von einem Computer ausgeführt werden.

Das Hauptresultat des Polygonstudiums ist dann nicht mehr die Fähigkeit, eine Raute von einem Trapez zu unterscheiden.

Das Kind beherrscht eine universellere Fertigkeit:

ein unbekanntes Objekt nehmen, es in einer berechenbaren Form darstellen, mit allgemeinen Methoden untersuchen, Muster entdecken und erst danach Namen und kurze Formeln zur Beschleunigung der Lösung verwenden.

Genau das kann die Geometrie lehren, lange bevor das Kind mit Algorithmen, Programmierung und realen ingenieurtechnischen Aufgaben in Berührung kommt.