Cần học đa giác từ các phương pháp tổng quát đến tên gọi riêng biệt

Việc học về các đa giác thường bắt đầu bằng tam giác, sau đó trẻ lần lượt được làm quen với các hình mới:

• hình bình hành;
• hình chữ nhật;
• hình thoi;
• hình vuông;
• hình thang;
• đa giác đều.

Mỗi hình đều có tên gọi, định nghĩa, tập hợp các dấu hiệu nhận biết, danh sách tính chất và một số công thức đặc biệt riêng.

Người ta cho rằng, sau khi tích lũy đủ những kiến thức đó, học sinh sẽ biết cách giải các bài toán hình học.

Nhưng đồng thời, các em có thể hình thành một mô hình hoàn toàn khác:

Đối với mỗi hình đều có một tên gọi chính xác, và đằng sau mỗi tên gọi là một công thức cần phải nhớ.

Chừng nào trước mặt trẻ là một hình quen thuộc, hệ thống này vẫn hoạt động. Nhưng chỉ cần xoay hình vuông, làm méo mó hình chữ nhật một chút hoặc cho xem một hình bảy cạnh bất kỳ — các mốc định quen thuộc biến mất.

Trẻ biết cách giải các bài toán về những hình quen thuộc, nhưng lại không biết phải làm gì với một hình bất kỳ.

Tên của hình là một điều kiện bổ sung của bài toán

Nếu đề bài nói rằng:

Cho hình chữ nhật ABCD.

đó không chỉ là tên của một đối tượng được vẽ ra.

Theo nghĩa toán học, chúng ta được cho biết:

• trước mặt chúng ta là một tứ giác;
• mỗi góc trong của nó đều bằng 90°.

Từ các điều kiện này và các định lý đã được chứng minh trước đó, suy ra các tính chất khác:

• các cạnh đối song song;
• các cạnh đối bằng nhau;
• các đường chéo bằng nhau;
• các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;
• diện tích có thể được tính bằng tích của chiều dài và chiều rộng.

Tên gọi «hình chữ nhật» hoạt động như một tập hợp các bảo đảm được ghi lại một cách gọn gàng.

tứ giác + bốn góc vuông = hình chữ nhật

Nhưng những bảo đảm này không nhất thiết phải mô tả hoàn toàn đầy đủ về hình đó.

Nếu cùng hình chữ nhật đó mà có tất cả các cạnh bằng nhau, thì chúng ta có hình vuông. Đồng thời, nó vẫn không ngừng là hình chữ nhật.

Hình vuông đồng thời là:

• tứ giác;
• hình bình hành;
• hình chữ nhật;
• hình thoi;
• hình vuông.

Mỗi khái niệm tiếp theo bổ sung thêm các giới hạn mới mà không phủ nhận các khái niệm trước đó.

tứ giác

+ các cạnh đối song song

= hình bình hành

+ các góc vuông

= hình chữ nhật

+ các cạnh bằng nhau

= hình vuông

Do đó, tốt hơn hết là nên coi tên gọi của các hình không phải là các dạng hình ảnh loại trừ lẫn nhau, mà là các nhãn dán cho các tập hợp tính chất đã được chứng minh.

Không thể xác định chính xác các tính chất chỉ dựa vào hình vẽ

Một hình có thể trông giống hình chữ nhật, nhưng điều đó chưa chứng minh được các góc của nó bằng đúng 90°.

Góc có thể bằng 89°, nhưng hình vẽ vẫn trông giống hình chữ nhật. Các cạnh đối có thể có vẻ song song, mặc dù nếu kéo dài chúng sẽ cắt nhau. Hình vuông có thể được vẽ bị méo mó một chút, còn hình thoi bất kỳ lại trông gần giống hình vuông.

Hình vẽ giúp hình dung điều kiện bài toán, nhưng không thay thế cho điều kiện đó.

Để thiết lập các tính chất của hình, cần có thêm dữ liệu:

• tọa độ các đỉnh;
• độ dài các cạnh;
• giá trị các góc;
• các ký hiệu trên hình vẽ;
• kết quả đo đạc;
• các mối quan hệ đã được chứng minh trước đó.

Điều này thay đổi căn bản thứ tự suy luận.

Thay vì:

hình ảnh → nhận biết tên gọi → nhớ lại tính chất

chúng ta có thể sử dụng:

dữ liệu → đo lường → kiểm tra điều kiện → tính chất đã chứng minh → phân loại

Trong trường hợp này, tên gọi xuất hiện ở cuối quá trình nghiên cứu chứ không phải ở phần đầu.

Đầu tiên là đa giác bất kỳ

Nền tảng của khóa học không nên đặt vào hình vuông, hình thoi hay hình thang, mà là một đa giác bất kỳ.

Đa giác có thể được biểu diễn như một chuỗi các đỉnh:

A₁, A₂, A₃, ..., Aₙ

Các đỉnh liền kề được nối với nhau bằng các cạnh, và đỉnh cuối cùng được nối với đỉnh đầu tiên.

Cách biểu diễn này có các yếu tố chung:

• các đỉnh;
• các cạnh;
• các góc trong;
• các đường chéo;
• chu vi;
• diện tích;
• hướng đi vòng (chiều duyệt);
• các điểm giao nhau có thể có.

Những yếu tố này tồn tại độc lập với việc hình đó có tên gọi đặc biệt hay không.

Do đó, trước tiên có thể cung cấp cho trẻ một tập hợp các phương pháp hoạt động với bất kỳ đa giác nào, và chỉ sau đó mới chuyển sang các lớp hình cụ thể.

Khoảng cách giữa bất kỳ hai đỉnh nào

Nếu biết tọa độ của hai điểm:

A(x₁, y₁) và B(x₂, y₂),

khoảng cách giữa chúng được tính theo công thức tổng quát:

AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Công thức này áp dụng được cho các đoạn thẳng nằm ngang, thẳng đứng và xiên.

Nếu đoạn thẳng nằm thẳng đứng, tọa độ x trùng nhau:

x₁ = x₂

Khi đó công thức tự động được đơn giản hóa:

AB = |y₂ - y₁|

Nếu đoạn thẳng nằm ngang, tọa độ y trùng nhau:

y₁ = y₂

Và ta còn lại:

AB = |x₂ - x₁|

Như vậy, trẻ không bắt buộc phải ghi nhớ ba quy tắc độc lập từ đầu. Các em có thể nắm vững một công thức tổng quát duy nhất và tự suy ra các trường hợp ngắn hơn từ đó.

Ngay tại đây, vai trò của từng thao tác cũng trở nên rõ ràng:

• các phép trừ thể hiện độ dịch chuyển theo hai hướng;
• các bình phương giúp loại bỏ sự phụ thuộc vào dấu và kết nối các độ dịch chuyển vuông góc theo định lý Pythagoras;
• căn bậc hai đưa bình phương của độ dài trở về độ dài thông thường.

Một công thức duy nhất cho phép:

• tìm độ dài các cạnh;
• tính các đường chéo;
• kiểm tra sự bằng nhau của các đoạn thẳng;
• tìm chu vi;
• phát hiện tam giác cân và tam giác đều;
• kiểm tra các tính chất riêng của tứ giác.

Hướng thay vì nhận diện bằng trực giác

Có thể xác định hướng cho mỗi cạnh.

Nếu biết các điểm:

A(x₁, y₁) và B(x₂, y₂),

thì vectơ của cạnh có dạng:

AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)

Bằng cách so sánh hướng của hai cạnh, ta có thể kiểm tra xem chúng có song song hay không.

Đối với các vectơ:

u = (a, b) và v = (c, d)

điều kiện:

ad - bc = 0

có nghĩa là các hướng song song với nhau.

Tính vuông góc có thể được kiểm tra thông qua tích vô hướng:

u · v = ac + bd

Nếu:

ac + bd = 0,

thì các hướng vuông góc với nhau và góc giữa chúng bằng 90°.

Bằng cách này, trẻ có được một phương pháp vạn năng để chứng minh các cạnh song song hoặc tạo thành một góc vuông. Các em không còn phải phụ thuộc vào vẻ bề ngoài của hình vẽ nữa.

Nếu một tứ giác có bốn góc vuông, nó có thể được gọi là hình chữ nhật.

Nếu bổ sung thêm điều kiện tất cả các cạnh bằng nhau, nó có thể được gọi là hình vuông.

Nhưng tên gọi không làm thay đổi hay thêm bớt gì vào các sự thật đã được thiết lập. Nó chỉ cho phép truyền đạt chúng một cách gọn gàng đến người khác và tận dụng các hệ quả đã biết.

Bất kỳ đa giác nào cũng có thể được nghiên cứu thông qua các tam giác

Tam giác giữ một vị trí đặc biệt trong hình học.

Nó là đa giác khép kín đơn giản nhất, và bất kỳ đa giác đơn giản nào cũng có thể được chia thành các tam giác.

Một đa giác có n đỉnh có thể được chia thành:

n - 2

tam giác.

Sau đó, diện tích của toàn bộ hình được tìm thấy bằng tổng diện tích các phần của nó.

S = S₁ + S₂ + ... + Sₙ₋₂

Đây là một phương pháp tổng quát. Nó không chỉ hoạt động đối với hình chữ nhật, hình thoi và hình thang, mà còn đối với cả những hình không có tên gọi đặc biệt trong chương trình phổ thông.

Cách làm này có thể không phải là nhanh nhất. Với số lượng đỉnh lớn, sẽ cần phải vẽ nhiều đường chéo và xử lý riêng biệt từng tam giác.

Nhưng chính vì thế mà việc học nó đầu tiên lại rất hữu ích.

Nó giải thích:

• tại sao một diện tích phức tạp có thể được ghép lại từ các diện tích đơn giản;
• nhiều công thức đặc biệt bắt nguồn từ đâu;
• phải làm gì nếu không biết sẵn công thức;
• tại sao các phương pháp nhanh hơn lại thực sự hoạt động.

Học sinh trước tiên nhận được một phương pháp chung đáng tin cậy, rồi sau đó mới bắt đầu tìm kiếm cách rút ngắn các phép tính.

Phương pháp thắt dây giày như sự tối ưu hóa của giải pháp tổng quát

Nếu biết tọa độ của các đỉnh nằm liên tiếp nhau, diện tích của một đa giác đơn giản có thể được tìm bằng phương pháp thắt dây giày (shoelace formula).

Đối với các đỉnh:

(x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ)

diện tích được tính như sau:

S = 1/2 · |Σ(xᵢyᵢ₊₁ - yᵢxᵢ₊₁)|

Sau đỉnh cuối cùng, đỉnh đầu tiên lại được sử dụng:

(xₙ₊₁, yₙ₊₁) = (x₁, y₁)

Phương pháp này không đòi hỏi phải chia rõ ràng hình thành n - 2 tam giác. Chỉ cần đi vòng qua tất cả các đỉnh theo thứ tự một lần là đủ.

Đồng thời, phương pháp thắt dây giày không phải là một ý tưởng hoàn toàn xa lạ. Nền tảng của nó cũng dựa trên diện tích định hướng của các tam giác. Chỉ là các phép dựng hình trung gian đã được thu gọn thành một thuật toán ngắn hơn, và các vùng thừa sẽ tự động được trừ đi lẫn nhau.

Từ đó tạo ra một chuỗi học tập tự nhiên:

1. Chia đa giác thành các tam giác.
2. Tính diện tích của từng phần.
3. Nhìn ra các thao tác lặp đi lặp lại.
4. Nắm vững phương pháp gom chúng lại trong một lần duyệt.
5. So sánh chi phí của hai giải pháp.
6. (Lược bỏ bớt nếu cần, giữ nguyên cấu trúc gốc)

Tại đây, hình học được gắn kết một cách tự nhiên với các thuật toán và độ phức tạp tính toán.

Trẻ bắt đầu đặt câu hỏi:

• cần bao nhiêu thao tác;
• những dữ liệu nào là cần thiết;
• phải dựng bao nhiêu đối tượng trung gian;
• nơi nào có xác suất sai sót cao hơn;
• phương pháp nào dễ tự động hóa hơn;
• khối lượng công việc tăng lên nhanh thế nào khi số lượng đỉnh tăng lên.

Các em không chỉ học các công thức mà còn học cả các nguyên tắc lựa chọn phương pháp.

Các công thức đặc biệt trở thành những cách viết tắt dễ hiểu

Sau khi đã nắm vững các phương pháp tổng quát, chúng ta có thể quay lại với các hình quen thuộc.

Ví dụ, diện tích hình chữ nhật luôn có thể được tính bằng phương pháp thắt dây giày. Nhưng nếu biết chiều dài a và chiều rộng b, phép tính sẽ được rút gọn thành:

S = ab

Diện tích hình bình hành có thể tìm bằng phương pháp tọa độ tổng quát, nhưng khi đã biết chiều cao thì chỉ cần:

S = ah

Diện tích hình thang cũng có thể tính thông qua tọa độ hoặc chia thành các tam giác. Khi đã biết độ dài hai đáy a, b và chiều cao h, phép tính được rút gọn thành:

S = ((a + b) / 2) · h

Theo thứ tự này, các công thức đặc biệt không cạnh tranh với các phương pháp tổng quát và cũng không thay thế chúng.

Chúng trả lời cho một câu hỏi dễ hiểu:

Có thể bỏ qua những phép tính nào nếu hình có thêm các tính chất bổ sung?

Học sinh nhìn thấy không chỉ công thức mà còn cả cái giá phải trả để áp dụng nó.

Công thức hình chữ nhật ngắn hơn phương pháp thắt dây giày, nhưng đòi hỏi phải chứng minh hoặc lấy từ điều kiện rằng trước mặt chúng ta thực sự là hình chữ nhật.

Phương pháp tổng quát dài hơn, nhưng không đòi hỏi phải phân loại trước hình đó.

Lựa chọn phương pháp phụ thuộc vào dữ liệu có sẵn

Cách giải quyết tốt nhất không chỉ được quyết định bởi dạng của hình.

Nếu biết chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật, sử dụng công thức sau sẽ thuận tiện hơn:

S = ab

Nếu chỉ biết tọa độ các đỉnh của nó, phương pháp thắt dây giày có thể trực diện hơn: sẽ không cần phải xác định riêng chiều dài, chiều rộng và hướng của hình.

Nếu được cho một bản vẽ trên giấy không có tọa độ, hình có thể được đo đạc và chia thành các phần.

Nếu trước mặt chúng ta là một đường viền kỹ thuật số với một triệu đỉnh, việc chia thủ công sẽ mất ý nghĩa. Cần phải sử dụng một chương trình có khả năng xử lý toàn bộ mảng dữ liệu đó.

Do đó, câu hỏi đúng không phải là:

Công thức nào tương ứng với tên gọi của hình này?

Mà là:

Phương pháp nào tận dụng tốt nhất dữ liệu mà chúng ta đang có sẵn?

Đó chính là quá trình chuyển đổi từ việc tái tạo các khuôn mẫu trong trường học sang tư duy thuật toán.

Các hình trong thực tế hiếm khi có các tính chất hoàn hảo

Trong sách giáo khoa, góc hoặc là bằng 90°, hoặc là không.

Trong đo đạc thực tế, kết quả nhận được có thể là:

89,7° ± 0,5°

Lúc này không thể đơn giản hỏi: «Đây có phải là hình chữ nhật hay không?»

Trước tiên cần phải xác định sai số cho phép.

Đối với bản vẽ phác thảo một căn phòng, một độ lệch nào đó có thể không đáng kể. Nhưng đối với việc chế tạo một chi tiết chính xác, chính độ lệch đó sẽ trở nên không thể chấp nhận được.

Thay vì dấu bằng nghiêm ngặt, xuất hiện điều kiện:

|α - 90°| < ε

trong đó ε là độ lệch cho phép, tùy thuộc vào mục đích.

Điều này cho thấy một hạn chế nữa của việc học thông qua các hình có tên gọi hoàn hảo. Một đối tượng thực tế không bắt buộc phải thuộc hoàn toàn về một trong các lớp hình học trong sách giáo khoa.

Các phương pháp tổng quát cho phép làm việc với nó ngay cả khi chưa phân loại xong:

• đo tất cả các cạnh;
• tính diện tích;
• đánh giá các góc;
• xác định mức độ sai lệch;
• thông báo sai số của kết quả.

Tên gọi trở nên không bắt buộc.

Chúng ta có thể nghiên cứu đối tượng ngay cả khi chưa quyết định có coi nó là hình chữ nhật hay không.

Máy tính nên là thứ tính toán, còn con người hiểu rõ cách giải

Khi có số lượng đỉnh lớn, sẽ không ai đi áp dụng thủ công công thức khoảng cách cho từng cạnh hay viết ra phương pháp thắt dây giày trên giấy.

Công việc này hợp lý hơn nên giao cho máy tính hoặc Trí tuệ nhân tạo (AI).

Một hệ thống hiện đại có thể:

• nhận diện đường viền của hình;
• trích xuất các đỉnh;
• xác định thứ tự duyệt;
• tìm các điểm giao nhau;
• chọn thuật toán phù hợp;
• tính chu vi và diện tích;
• đánh giá sai số;
• hiển thị các tính chất được phát hiện.

Nhưng con người vẫn cần phải hiểu rõ:

• hệ thống coi cái gì là đỉnh;
• nó sử dụng dữ liệu nào;
• đường viền có khép kín hay không;
• kết quả thu được tính bằng đơn vị nào;
• có tính đến các phần thủng (lỗ rỗng) hay không;
• điều gì sẽ xảy ra nếu có sự tự cắt nhau;
• tại sao thuật toán được chọn lại áp dụng được;
• làm thế nào để kiểm tra tính hợp lý của câu trả lời.

Để làm điều đó, không cần phải xử lý thủ công một triệu điểm. Cần phải hiểu được cốt lõi hình học tối thiểu và cấu trúc của phương pháp đang áp dụng.

Mục tiêu học tập thay đổi.

Không phải là:

Dạy con người thực hiện mọi phép tính thay cho máy tính.

Mà là:

Dạy con người hiểu về đối tượng, lựa chọn hoặc kiểm soát phương pháp và kiểm tra kết quả tính toán.

Một khóa học đa giác khác có thể trông như thế nào

Việc học tập có thể được xây dựng theo trình tự sau.

1. Hình bất kỳ

Trẻ nhận được một đường viền không có tên gọi đặc biệt và học cách tách biệt các đỉnh, cạnh, đường chéo và góc.

2. Đo lường tổng quát

Trẻ làm chủ tọa độ, khoảng cách, hướng, chu vi và diện tích.

3. Giải pháp tổng quát

Trẻ học cách chia hình thành các tam giác và có được cách làm việc với bất kỳ đa giác đơn giản nào.

4. Thu gọn bằng thuật toán

Khi số lượng đỉnh tăng lên, chi phí cho việc chia tam giác thủ công trở nên quá lớn. Phương pháp thắt dây giày hoặc việc tự động hóa tương tự xuất hiện.

5. Khám phá các tính chất

Trẻ kiểm tra xem:

• những cạnh nào bằng nhau;
• những cạnh nào song song;
• các góc vuông nằm ở đâu;
• các đường chéo có mối liên hệ gì;
• những tính chất nào lặp lại ở các hình khác nhau.

6. Phân loại

Đối với các tổ hợp tính chất ổn định, tên gọi được đưa ra:

• hình bình hành;
• hình chữ nhật;
• hình thoi;
• hình vuông;
• hình thang.

7. Tối ưu hóa riêng biệt

Từ các phương pháp tổng quát, các công thức ngắn gọn được suy ra cho các hình có thêm giới hạn bổ sung.

8. Tự động hóa và kiểm tra

Trẻ áp dụng bảng tính, chương trình hoặc AI cho các hình có số lượng đỉnh lớn và học cách kiểm tra kết quả thu được.

Trong một khóa học như vậy, tên gọi và các công thức đặc biệt không hề biến mất đi đâu cả. Chúng đơn giản chiếm lấy vị trí tự nhiên của mình.

Tên gọi có ích, nhưng không nên là nền tảng

Các thuật ngữ cho phép truyền đạt nhanh chóng các tập hợp tính chất lớn.

Nói «hình vuông» tiện hơn là mỗi lần lại liệt kê:

• bốn cạnh;
• tất cả các cạnh bằng nhau;
• tất cả các góc đều vuông;
• các cạnh đối song song;
• các đường chéo bằng nhau;
• các đường chéo vuông góc;
• các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Các công thức chuyên biệt cũng giúp tiết kiệm các phép tính.

Vấn đề không phát sinh từ chính tên gọi và công thức, mà từ thứ tự học tập chúng.

Nếu trẻ ghi nhớ tên gọi trước, sau đó mới cố gắng gắn kết nó với danh sách các tính chất, hình học sẽ biến thành một danh mục các ký hiệu quy ước.

Ngược lại, nếu trẻ tự mình nghiên cứu đối tượng trước, phát hiện ra các tính chất và đối mặt với các phép tính lặp đi lặp lại, thì tên gọi và công thức sẽ trở thành câu trả lời cho một nhu cầu đã được hiểu rõ.

Khi đó:

• «hình chữ nhật» nén lại một tập hợp điều kiện đã được chứng minh;
• S = ab rút gọn phép tính diện tích tổng quát;
• phương pháp thắt dây giày đẩy nhanh việc xử lý số lượng lớn các đỉnh;
• chương trình tự động hóa các thao tác lặp đi lặp lại;
• AI giúp chuyển đổi từ hình ảnh sang mô hình toán học.

Mỗi cấp độ mới không thay thế cấp độ trước mà tối ưu hóa nó.

Hình học nên dạy cách khám phá những điều chưa biết

Trẻ không bắt buộc phải nhớ tên của mọi đa giác.

Điều quan trọng hơn rất nhiều là khi gặp một hình lạ, trẻ có thể đặt câu hỏi:

1. Nó gồm những yếu tố nào?
2. Những dữ liệu nào về nó đã được biết?
3. Có thể đo đạc hoặc tính toán những gì?
4. Những tính chất nào có thể được chứng minh?
5. Phương pháp tổng quát nào áp dụng được ở đây?
6. Có thể rút gọn cách giải nhờ vào các tính chất đã tìm thấy không?
7. Có nên thực hiện tính toán thủ công hay giao nó cho công cụ?
8. Làm thế nào để kiểm tra kết quả thu được?

Tư duy như vậy vẫn tiếp tục hoạt động ngay cả khi hình vẽ không còn giống hình trên sách giáo khoa, số lượng đỉnh trở nên lớn, dữ liệu chứa sai số, và việc tính toán do máy tính thực hiện.

Kết quả chính của việc học đa giác khi đó không phải là khả năng phân biệt hình thoi với hình thang.

Trẻ nắm vững một kỹ năng phổ quát hơn:

lấy một đối tượng lạ, biểu diễn nó dưới dạng có thể tính toán được, nghiên cứu bằng các phương pháp chung, phát hiện các quy luật và chỉ sau đó mới sử dụng tên gọi cùng các công thức ngắn gọn để đẩy nhanh quá trình giải quyết vấn đề.

Đó chính xác là những gì hình học có thể dạy trước rất lâu trước khi trẻ phải đối mặt với các thuật toán, lập trình và các bài toán kỹ thuật thực tế.