Ang mga polygon ay dapat pag-aralan mula sa mga pangkalahatang pamamaraan hanggang sa mga tiyak na pangalan

Ang pag-aaral ng mga polygon ay karaniwang nagsisimula sa tatsulok (triangle), pagkatapos nito ay sunud-sunod na ipinapakita sa bata ang mga bagong hugis:

• paralelogram;
• rektanggulo;
• rombo;
• parisukat;
• trapezoid;
• mga regular na polygon.

Ang bawat hugis ay nakakakuha ng sarili nitong pangalan, kahulugan, hanay ng mga katangian, listahan ng mga pag-aari at ilang espesyal na pormula.

Ipinapalagay na, sa pamamagitan ng pag-ipon ng sapat na kaalamang ito, matututo ang mag-aaral na lutasin ang mga problemang heometriko.

Ngunit kasama nito, maaaring mabuo sa kanya ang isang ganap na naiibang modelo:

Para sa bawat hugis ay mayroong tamang pangalan, at sa likod ng bawat pangalan ay may nakatagong pormula na kailangang alalahanin.

Hangga't may nakikilalang hugis sa harap ng bata, gumagana ang sistemang ito. Ngunit kapag pinaikot ang parisukat, medyo binaluktot ang rektanggulo o ipinakita ang isang di-regular na pitong-sulok (heptagon) — nawawala ang mga pamilyar na palatandaan.

Alam ng bata kung paano lutasin ang mga problema tungkol sa mga kilalang hugis, ngunit hindi niya alam kung ano ang gagawin sa isang di-makatwirang hugis.

Ang pangalan ng hugis ay isang karagdagang kundisyon ng problema

Kung sinabi sa problema:

Ibinigay ang rektanggulo na ABCD.

ito ay hindi lamang pangalan ng iginuhit na bagay.

Sa matematikal na kahulugan, sinabi sa atin:

• nasa harapan natin ang isang kuwadrilateral (quadrilateral);
• ang bawat panloob na anggulo nito ay katumbas ng 90°.

Mula sa mga kundisyong ito at mga teyorem na napatunayan na, sumusunod ang iba pang mga katangian:

• ang magkabilang gilid ay magkatulad (parallel);
• ang magkabilang gilid ay pantay;
• ang mga dayagonal ay magkatumbas;
• ang mga dayagonal ay naghahatian sa gitna;
• ang lawak (area) ay maaaring kalkulahin bilang produkto ng haba at lapad.

Ang pangalan na "rektanggulo" ay gumagana bilang isang compact na nakasulat na hanay ng mga garantiya.

kuwadrilateral + apat na tamang anggulo (right angles) = rektanggulo

Ngunit ang mga garantiyang ito ay hindi kinakailangang naglalarawan ng buong hugis.

Kung ang parehong rektanggulo ay may magkakasinghabang gilid, nasa harapan natin ang isang parisukat. Kasabay nito, hindi ito tumitigil sa pagiging rektanggulo.

Ang parisukat ay sabay na isang:

• kuwadrilateral;
• paralelogram;
• rektanggulo;
• rombo;
• parisukat.

Ang bawat kasunod na konsepto ay nagdaragdag ng mga bagong limitasyon, nang hindi inaalis ang mga nauna.

kuwadrilateral

+ magkabilang gilid ay magkatulad (parallel)

= paralelogram

+ mga tamang anggulo (right angles)

= rektanggulo

+ magkakasinghabang gilid

= parisukat

Kaya naman mas mabuting ituring ang mga pangalan ng mga hugis hindi bilang magkakasalungat na uri ng mga larawan, kundi bilang mga tatak (labels) ng mga hanay ng napatunayang katangian.

Hindi mo matutukoy nang eksakto ang mga katangian mula sa guhit

Ang isang hugis ay maaaring magmukhang rektanggulo, ngunit hindi pa ito nagpapatunay na ang mga anggulo nito ay eksaktong 90°.

Ang anggulo ay maaaring 89°, at ang imahe ay magiging mukhang rektanggulo pa rin. Ang magkabilang gilid ay maaaring magmukhang magkatulad (parallel), bagaman magkakasalubong kapag itinuloy. Ang isang parisukat ay maaaring iguhit na may kaunting pagbaluktot, at ang isang di-makatwirang rombo — ay maaaring magmukhang halos parisukat.

Ang guhit ay tumutulong upang mailarawan ang kundisyon, ngunit hindi ito pinapalitan.

Upang maitaguyod ang mga katangian ng hugis, kailangan ang karagdagang data:

• mga koordinat ng mga tuktok (vertices);
• haba ng mga gilid;
• mga halaga ng anggulo;
• mga marka sa drowing;
• mga resulta ng pagsukat;
• mga naunang napatunayang ugnayan.

Binabago nito nang lubusan ang pagkakasunud-sunod ng pangangatwiran.

Sa halip na:

larawan → pagkilala sa pangalan → pag-alala sa mga katangian

maaaring gamitin ang:

data → pagsukat → pagsusuri ng mga kundisyon → napatunayang mga katangian → pagkaklasipika

Sa kasong ito, ang pangalan ay lumilitaw sa dulo ng pagsisiyasat, hindi sa simula nito.

Una ang di-makatwirang polygon

Sa batayan ng kurso ay maaaring ilagay hindi ang parisukat, rombo o trapezoid, kundi isang di-makatwirang polygon.

Ang polygon ay maaaring katawanin bilang isang sunud-sunod na mga tuktok (vertices):

A₁, A₂, A₃, ..., Aₙ

Ang mga magkakatabing tuktok ay konektado sa pamamagitan ng mga gilid, at ang huling tuktok ay konektado sa una.

Ang ganitong representasyon ay may mga pangkalahatang elemento:

• mga tuktok (vertices);
• mga gilid;
• mga panloob na anggulo;
• mga dayagonal;
• perimeter;
• lawak (area);
• direksyon ng paglibot;
• posibleng mga interseksyon.

Umiiral ang mga elementong ito anuman ang kung ang hugis ay may espesyal na pangalan o wala.

Kaya naman maaaring bigyan muna ang bata ng isang hanay ng mga pamamaraan na gumagana sa anumang polygon, at saka lamang lumipat sa mga tiyak na klase.

Distansya sa pagitan ng alinmang dalawang tuktok

Kung kilala ang mga koordinat ng dalawang tuldok:

A(x₁, y₁) at B(x₂, y₂),

ang distansya sa pagitan nila ay kinakalkula sa pamamagitan ng pangkalahatang pormula:

AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Gumagana ito para sa pahalang (horizontal), patayo (vertical), at pahilig na mga linya.

Kung ang linya ay patayo, ang mga koordinat na x ay magkatulad:

x₁ = x₂

Pagkatapos ang pormula ay awtomatikong pinuputol:

AB = |y₂ - y₁|

Kung ang linya ay pahalang, ang mga koordinat na y ay magkatulad:

y₁ = y₂

At ang natitira ay:

AB = |x₂ - x₁|

Lumilitaw na hindi kailangang isaulo muna ng bata ang tatlong independiyenteng tuntunin. Maaari niyang pag-aralan ang isang pangkalahatang pormula, at hanguin ang mas maikling mga kaso mula rito nang mag-isa.

Dito rin nagiging malinaw ang papel ng bawat aksyon:

• ang mga pagkakaiba ay nagpapakita ng pag-alis (displacement) sa dalawang direksyon;
• ang mga parisukat ay nag-aalis ng pag-asa sa tanda at nag-uugnay sa mga patayong pag-alis ayon sa teyorem ni Pythagoras;
• ang ugat (square root) ay ibinabalik ang parisukat ng haba sa karaniwang haba.

Ang isang pormula ay nagbibigay-daan upang:

• mahanap ang haba ng mga gilid;
• kalkulahin ang mga dayagonal;
• suriin ang pagkakapantay-pantay ng mga linya;
• mahanap ang perimeter;
• tumuklas ng mga isosceles at equilateral na tatsulok;
• suriin ang mga indibidwal na katangian ng mga kuwadrilateral.

Mga direksyon sa halip na visual na pagkilala

Para sa bawat gilid ay maaaring matukoy ang direksyon.

Kung kilala ang mga tuldok:

A(x₁, y₁) at B(x₂, y₂),

kung gayon ang vector ng gilid ay may anyo:

AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)

Sa pamamagitan ng paghahambing ng mga direksyon ng dalawang gilid, maaari mong suriin kung ang mga ito ay magkatulad (parallel).

Para sa mga vector:

u = (a, b) at v = (c, d)

ang kundisyon:

ad - bc = 0

ay nangangahulugan na ang mga direksyon ay magkatulad (parallel).

Ang pagiging patayo (perpendicularity) ay maaaring suriin sa pamamagitan ng dot product:

u · v = ac + bd

Kung:

ac + bd = 0,

kung gayon ang mga direksyon ay patayo, at ang anggulo sa pagitan nila ay 90°.

Sa gayon ay nakakakuha ang bata ng isang unibersal na paraan upang patunayan na ang mga gilid ay magkatulad o bumubuo ng tamang anggulo. Hindi na niya kailangang umasa sa hitsura ng drowing.

Kung ang isang kuwadrilateral ay natagpuang may apat na tamang anggulo, maaari itong tawaging rektanggulo.

Kung bukod dito ay nalaman na ang lahat ng mga gilid ay magkakasinghaba, maaari itong tawaging parisukat.

Ngunit ang pangalan ay walang idinaragdag sa mga naitatag nang katotohanan. Pinapayagan lamang nitong ihatid ang mga ito nang compact sa ibang tao at gamitin ang mga kilalang kinahinatnan.

Anumang polygon ay maaaring siyasatin sa pamamagitan ng mga tatsulok

Ang tatsulok ay may espesyal na lugar sa heometriya.

Ito ang pinakasimpleng saradong polygon, at ang anumang simpleng polygon ay maaaring hatiin sa mga tatsulok.

Ang isang polygon na may n na mga tuktok ay maaaring hatiin sa:

n - 2

mga tatsulok.

Pagkatapos nito, ang lawak (area) ng buong hugis ay matatagpuan bilang kabuuan ng mga lawak ng mga bahagi nito.

S = S₁ + S₂ + ... + Sₙ₋₂

Ito ay isang unibersal na pamamaraan. Gumagana ito hindi lamang para sa mga rektanggulo, rombo at trapezoid, kundi pati na rin sa mga hugis na walang espesyal na pangalan sa paaralan.

Ang gayong paraan ay maaaring hindi ang pinakamabilis. Sa malaking bilang ng mga tuktok, kakailanganin na magtayo ng maraming mga dayagonal at hiwalay na iproseso ang bawat tatsulok.

Ngunit iyon ang dahilan kung bakit kapaki-pakinabang na pag-aralan ito muna.

Ipinapaliwanag nito:

• kung bakit ang isang kumplikadong lawak ay maaaring buuin mula sa mga simple;
• kung saan nagmumula ang maraming espesyal na pormula;
• kung ano ang gagawin kung ang handa nang pormula ay hindi kilala;
• kung bakit gumagana ang mas mabilis na mga pamamaraan sa pangkalahatan.

Ang mag-aaral ay nakakakuha muna ng maaasahang pangkalahatang paraan, at pagkatapos ay nagsisimulang maghanap ng mga paraan upang paikliin ang mga kalkulasyon.

Pamamaraan ng lacing (lace-making) bilang pag-optimize ng pangkalahatang solusyon

Kung kilala ang mga koordinat ng magkakasunod na nakaposisyon na mga tuktok, ang lawak ng isang simpleng polygon ay matatagpuan sa pamamagitan ng pamamaraan ng lacing (shoelace formula).

Para sa mga tuktok:

(x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ)

ang lawak ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

S = 1/2 · |Σ(xᵢyᵢ₊₁ - yᵢxᵢ₊₁)|

Pagkatapos ng huling tuktok, ginagamit muli ang una:

(xₙ₊₁, yₙ₊₁) = (x₁, y₁)

Ang pamamaraang ito ay hindi nangyari na tahasang hinahati ang hugis sa n - 2 na mga tatsulok. Sapat na ang dumaan sa lahat ng mga tuktok nang sunud-sunod nang isang beses.

Kasabay nito, ang lacing ay hindi isang ganap na banyagang ideya. Nakasalalay din ito sa mga oriented na lawak ng mga tatsulok. Lamang na ang mga intermediate na konstruksyon ay nakatiklop sa isang mas maikling algorithm, at ang mga labis na lugar ay awtomatikong binabawasan sa isa't isa.

Nagreresulta ito sa isang natural na pagkakasunud-sunod ng pag-aaral:

1. Hatiin ang polygon sa mga tatsulok.
2. Kalkulahin ang lawak ng bawat bahagi.
3. Tingnan ang mga paulit-ulit na aksyon.
4. Pag-aralan ang pamamaraan na nagpapakaligtaan sa kanila sa isang hakbang.
5. Ihambing ang gastos ng dalawang solusyon.

Dito, ang heometriya ay likas na nauugnay sa mga algorithm at kumplikado sa pag-compute.

Nagsisimula ang bata na magtanong:

• ilang mga aksyon ang kakailanganin;
• anong data ang kinakailangan;
• ilang intermediate na bagay ang kakailangang itayo;
• saan mas mataas ang posibilidad ng pagkakamali;
• aling pamamaraan ang mas madaling i-automate;
• gaano katulin lumalaki ang dami ng trabaho sa pagtaas ng bilang ng mga tuktok.

Pinag-aralan na niya hindi lamang ang mga pormula, kundi pati na rin ang mga prinsipyo ng pagpili ng pamamaraan.

Ang mga espesyal na pormula ay nagiging malinaw na pagdadaglat

Pagkatapos ma-master ang mga unibersal na pamamaraan, posibleng bumalik sa mga pamilyar na hugis.

Halimbawa, ang lawak ng isang rektanggulo ay palaging maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng pamamaraan ng lacing. Ngunit kung kilala ang haba a at lapad b, ang pagkalkula ay pinapaikli sa:

S = ab

Ang lawak ng isang paralelogram ay maaaring makuha sa pamamagitan ng unibersal na koordinat na pamamaraan, ngunit sa kilalang taas (height) ay sapat na ang:

S = ah

Ang lawak ng trapezoid ay maaari ding makuha sa pamamagitan ng mga koordinat o paghahati sa mga tatsulok. Sa mga kilalang batayan a, b at taas h, ang pagkalkula ay pinapaikli sa:

S = ((a + b) / 2) · h

Sa ganitong pagkakasunud-sunod, ang mga espesyal na pormula ay hindi nakikipagkumpitensya sa mga unibersal na pamamaraan at hindi pinapalitan ang mga ito.

Sinasagot nila ang isang malinaw na tanong:

Anong mga kalkulasyon ang maaaring laktawan kung natuklasan ang mga karagdagang katangian sa hugis?

Nakita ng mag-aaral hindi lamang ang pormula, kundi pati na rin ang presyo ng kakayahang magamit nito.

Ang pormula ng rektanggulo ay mas maikli kaysa sa pamamaraan ng lacing, ngunit nangangailangan ito na patunayan o makuha mula sa kundisyon na nasa harapan natin ay isang rektanggulo nga.

Ang unibersal na pamamaraan ay mas mahaba, ngunit hindi nang anangailangan na i-klasipika muna ang hugis nang maaga.

Ang pagpili ng pamamaraan ay nakasalalay sa magagamit na data

Ang pinakamahusay na paraan ng paglutas ay tinutukoy hindi lamang ng uri ng hugis.

Kung kilala ang haba at lapad ng rektanggulo, mas maginhawang gamitin ang:

S = ab

Kung ang mga koordinat lamang ng mga tuktok nito ang kilala, ang pamamaraan ng lacing ay maaaring maging mas tuwiran: hindi na kakailanganin na hiwalay na tukuyin ang haba, lapad at oryentasyon ng hugis.

Kung ibinigay ang drowing sa papel na walang mga koordinat, ang hugis ay maaaring sukatin at hatiin sa mga bahagi.

Kung nasa harapan natin ang isang digital contour na may isang milyong tuktok, ang manu-manong paghahati ay nawawalan ng kahulugan. Kinakailangang gumamit ng program na may kakayahang magproseso ng buong hanay ng data.

Kaya naman ang tamang tanong ay hindi:

Anong pormula ang tumutugma sa pangalan ng hugis na ito?

Kundi:

Anong pamamaraan ang mas mahusay na gumagamit ng data na mayroon na tayo?

Ito ang paglipat mula sa pag-reproduce ng mga template ng paaralan patungo sa pag-iisip na algorithmik.

Ang mga totoong hugis ay bihirang may perpektong mga katangian

Sa aklat-aralin, ang anggulo ay alinman sa katumbas ng 90° o hindi.

Sa totoong pagsukat ay maaaring makuha:

89,7° ± 0,5°

Ngayon ay hindi na natin maitatanong nang diretso: "Ito ba ay rektanggulo o hindi?"

Una ay kinakailangan na matukoy ang pinapayagang margin ng error.

Para sa isang tinatayang plano ng sil বার্তা, ang isang paglihis ay maaaring hindi makabuluhan. Para sa paggawa ng isang eksaktong bahagi, ang parehong paglihis ay magiging hindi katanggap-tanggap.

Sa halip na mahigpit na pagkakapantay-pantay, lumilitaw ang kundisyon:

|α - 90°| < ε

kung saan ang ε ay ang pinapayagang paglihis, na nakasalalay sa layunin.

Ipinapakita nito ang isa pang limitasyon ng pag-aaral sa pamamagitan ng mga perpektong pinangalanang hugis. Ang totoong bagay ay hindi obligadong eksaktong kabilang sa isa sa mga klase sa paaralan.

Pinapayagan ka ng mga unibersal na pamamaraan na magtrabaho kasama nito kahit na wala ang huling pagkaklasipika:

• sukatin ang lahat ng mga gilid;
• kalkulahin ang lawak;
• suriin ang mga anggulo;
• matukoy ang antas ng paglihis;
• iulat ang error ng resulta.

Ang pangalan ay nagiging hindi kinakailangan.

Maaari nating siyasatin ang bagay kahit na hindi natin napagpasyahan kung ituturing ito bilang isang rektanggulo.

Ang kompyuter ay dapat magkalkula, at ang tao ay dapat umunawa sa solusyon

Sa malaking bilang ng mga tuktok, walang sinuman ang manu-manong maglalapat ng pormula ng distansya sa bawat gilid o magsusulat ng pamamaraan ng lacing sa papel.

Makatwirang ipagkatiwala ang gawaing ito sa isang kompyuter o AI.

Ang isang modernong sistema ay maaaring:

• kilalanin ang hangganan ng hugis;
• ihiwalay ang mga tuktok;
• tukuyin ang pagkakasunud-sunod ng paglibot;
• mahanap ang mga interseksyon;
• pumili ng algorithm;
• kalkulahin ang perimeter at lawak;
• suriin ang error;
• ipakita ang mga natuklasang katangian.

Ngunit kapaki-pakinabang pa rin para sa tao na maunawaan:

• kung ano ang itinuturing ng sistema bilang tuktok;
• kung anong data ang ginagamit nito;
• kung sarado ang contour;
• sa anong mga yunit nakuha ang resulta;
• kung isinasaalang-alang ang mga butas;
• kung ano ang mangyayari sa sariling interseksyon;
• kung bakit naaangkop ang napiling algorithm;
• kung paano suriin ang katotohanan ng sagot.

Para dito, hindi na kailangang manu-manong iproseso ang isang milyong tuldok. Kinakailangang maunawaan ang minimum na heometrikong core at ang istruktura ng ginamit na pamamaraan.

Nagbabago ang layunin ng pag-aaral.

Hindi:

Turuan ang tao na gawin ang lahat ng mga kalkulasyon sa halip na ang kompyuter.

Kundi:

Turuan ang tao na maunawaan ang bagay, pumili o kontrolin ang pamamaraan at suriin ang resulta ng pagkalkula.

Paano kaya magiging hitsura ng isa pang kurso ng mga polygon

Ang pag-aaral ay maaaring itayo sa sumusunod na pagkakasunud-sunod.

1. Di-makatwirang hugis

Ang bata ay nakakatanggap ng contour na walang espesyal na pangalan at natututong ihiwalay ang mga tuktok, gilid, dayagonal at anggulo.

2. Mga unibersal na pagsukat

Pinag-aralan niya ang mga koordinat, distansya, direksyon, perimeter at lawak.

3. Unibersal na solusyon

Natututo siyang hatiin ang hugis sa mga tatsulok at nakakakuha ng paraan upang magtrabaho sa anumang simpleng polygon.

4. Algorithmic reduction

Sa pagtaas ng bilang ng mga tuktok, natuklasan ang mataas na gastos ng manu-manong triangulasyon. Lumilitaw ang pamamaraan ng lacing o ang katumbas nitong pag-a-automate.

5. Pagtuklas ng mga katangian

Sinusuri ng bata:

• aling mga gilid ang magkakasinghaba;
• aling mga gilid ang magkatulad (parallel);
• nasaan ang mga tamang anggulo;
• paano nauugnay ang mga dayagonal;
• anong mga katangian ang paulit-ulit sa iba't ibang mga hugis.

6. Pagkaklasipika

Para sa mga matatag na kumbinasyon ng mga katangian, ipinapakilala ang mga pangalan:

• paralelogram;
• rektanggulo;
• rombo;
• parisukat;
• trapezoid.

7. Mga tiyak na pag-optimize

Mula sa mga pangkalahatang pamamaraan, hinango ang mga maikling pormula para sa mga hugis na may mga karagdagang limitasyon.

8. Pag-a-automate at pagsusuri

Inilalapat ng bata ang talahanayan, programa o AI sa mga hugis na may malaking bilang ng mga tuktok at natututong suriin ang nakuhang resulta.

Sa gayong kurso, ang mga pangalan at espesyal na pormula ay hindi nawawala kahit saan. Sinasakop lamang nila ang kanilang natural na lugar.

Ang mga pangalan ay kapaki-pakinabang, ngunit hindi dapat maging pundasyon

Pinapayagan ng mga termino na mabilis na maihatid ang mga malalaking hanay ng mga katangian.

Ang pagsasabing "parisukat" ay mas maginhawa kaysa sa pag-enumerate sa bawat pagkakataon:

• apat na gilid;
• ang lahat ng mga gilid ay magkakasinghaba;
• ang lahat ng mga anggulo ay tama;
• ang magkabilang gilid ay magkatulad;
• ang mga dayagonal ay magkatumbas;
• ang mga dayagonal ay patayo;
• ang mga dayagonal ay naghahatian sa gitna.

Ang mga espesyal na pormula ay nakakatipid din ng mga kalkulasyon.

Ang problema ay hindi nagmumula sa mga pangalan at pormula mismo, kundi sa pagkakasunud-sunod ng kanilang pag-aaral.

Kung ang bata ay isinaulo muna ang pangalan, at pagkatapos ay sinusubukang iugnay ito sa listahan ng mga katangian, ang heometriya ay nagiging isang katalogo ng mga kondisyonal na simbolo.

Gayunpaman, kung sinisiyasat niya muna ang bagay, natuklasan ang mga katangian at nakakatagpo ng mga paulit-ulit na kalkulasyon, ang mga pangalan at pormula ay nagiging sagot sa isang pangangailangan na nauunawaan na.

Kung gayon:

• ang "rektanggulo" ay nagpapakitid ng napatunayang hanay ng mga kundisyon;
• ang S = ab ay nagpapaikli sa unibersal na pagkalkula ng lawak;
• ang pamamaraan ng lacing ay nagpapabilis sa pagproseso ng malaking bilang ng mga tuktok;
• ang programa ay nag-a-automate ng mga paulit-ulit na operasyon;
• tinutulungan ng AI ang paglipat mula sa imahe patungo sa mathematical model.

Ang bawat bagong antas ay hindi pinapalitan ang nauna, kundi pinag-iigi ito.

Ang heometriya ay dapat magturo na siyasatin ang hindi pamilyar

Hindi kinakailangan para sa bata na alalahanin ang pangalan ng bawat polygon.

Mas mahalaga na kapag nakatagpo ng isang hindi pamilyar na hugis, maaari niyang itanong ang:

1. Anong mga elemento ang binubuo nito?
2. Anong data ang kilala tungkol dito?
3. Ano ang maaaring sukatin o kalkulahin?
4. Anong mga katangian ang maaaring patunayan?
5. Anong unibersal na pamamaraan ang naaangkop dito?
6. Posible bang paikliin ang solusyon salamat sa mga natagpuang katangian?
7. Sulit ba na isagawa ang mga kalkulasyon nang manu-mano o ipagkatiwala ito sa isang tool?
8. Paano suriin ang nakuhang resulta?

Ang gayong pag-iisip ay patuloy na gumagana kahit na ang hugis ay tumigil sa pagiging kamukha ng larawan sa paaralan, ang bilang ng mga tuktok ay nagiging malaki, ang data ay naglalaman ng error, at ang mga kalkulasyon ay ginagawa ng kompyuter.

Ang pangunahing resulta ng pag-aaral ng mga polygon kung gayon ay nagiging hindi ang kakayahang makilala ang rombo mula sa trapezoid.

Ang bata ay nag-a-master ng isang mas unibersal na kasanayan:

kunin ang isang hindi pamilyar na bagay, katawanin ito sa isang nahahanap na anyo, siyasatin ito sa pamamagitan ng mga pangkalahatang pamamaraan, tumuklas ng mga pattern at saka lamang gamitin ang mga pangalan at maikling pormula upang mapabilis ang solusyon.

Ito mismo ang kayang ituro ng heometriya bago pa man makatagpo ang bata sa mga algorithm, programming at mga totoong gawain sa inhinyeriya.