I poligoni vanno studiati dai metodi generali ai nomi particolari
Lo studio dei poligoni inizia solitamente con il triangolo, dopo di che al bambino vengono mostrate in successione nuove figure:
- parallelogramma;
- rettangolo;
- rombo;
- quadrato;
- trapezio;
- poligoni regolari.
Ciascuna figura riceve il proprio nome, la definizione, un insieme di criteri, un elenco di proprietà e alcune formule speciali.
Si presume che, avendo accumulato una quantità sufficiente di tali conoscenze, l'alunno imparerà a risolvere problemi di geometria.
Ma insieme a ciò, in lui potrebbe formarsi un modello completamente diverso:
Per ogni figura esiste un nome corretto, e dietro ogni nome si cela una formula che bisogna ricordare.
Finché davanti al bambino c'è una figura riconoscibile, questo sistema funziona. Ma basta ruotare il quadrato, deformare leggermente il rettangolo o mostrare un ettagono irregolare perché i punti di riferimento abituali scompaiano.
Il bambino sa risolvere problemi su figure note, ma non sa cosa fare con una figura arbitraria.
Il nome della figura è una condizione aggiuntiva del problema
Se nel problema viene detto:
È dato il rettangolo
ABCD.
questo non è semplicemente il nome di un oggetto disegnato.
In senso matematico ci è stato comunicato che:
- davanti a noi c'è un quadrilatero;
- ciascuno dei suoi angoli interni è uguale a
90°.
Da queste condizioni e dai teoremi precedentemente dimostrati derivano altre proprietà:
- i lati opposti sono paralleli;
- i lati opposti sono uguali;
- le diagonali sono uguali;
- le diagonali si intersecano dividendosi a metà;
- l'area può essere calcolata come il prodotto della lunghezza per la larghezza.
Il nome «rettangolo» funziona come un insieme di garanzie registrato in modo compatto.
quadrilatero + quattro angoli retti = rettangolo
Ma queste garanzie non descrivono necessariamente la figura per intero.
Se in quello stesso rettangolo tutti i lati sono uguali, allora ci troviamo di fronte a un quadrato. Allo stesso tempo, esso non cessa di essere un rettangolo.
Il quadrato è contemporaneamente:
- un quadrilatero;
- un parallelogramma;
- un rettangolo;
- un rombo;
- un quadrato.
Ogni concetto successivo aggiunge nuove restrizioni senza cancellare le precedenti.
quadrilatero
+ i lati opposti sono paralleli
= parallelogramma
+ angoli retti
= rettangolo
+ lati uguali
= quadrato
Perciò è meglio percepire i nomi delle figure non come tipi di immagini che si escludono a vicenda, bensì come etichette di insiemi di proprietà dimostrate.
Dal disegno non si possono determinare con esattezza le proprietà
Una figura può sembrare un rettangolo, ma questo non dimostra ancora che i suoi angoli siano esattamente uguali a 90°.
L'angolo potrebbe essere di 89°, e l'immagine apparirebbe comunque rettangolare. I lati opposti potrebbero sembrare paralleli, sebbene prolungati si intersechino. Un quadrato potrebbe essere disegnato con una leggera distorsione, e un rombo arbitrario apparire quasi quadrato.
Il disegno aiuta a immaginare la condizione, ma non la sostituisce.
Per stabilire le proprietà di una figura, sono necessari dati aggiuntivi:
- coordinate dei vertici;
- lunghezze dei lati;
- valori degli angoli;
- indicazioni sul disegno;
- risultati di misurazioni;
- relazioni precedentemente dimostrate.
Ciò modifica radicalmente l'ordine del ragionamento.
Invece di:
immagine → riconoscimento del nome → ricordo delle proprietà
si può utilizzare:
dati → misurazione → verifica delle condizioni → proprietà dimostrate → classificazione
In questo caso, il nome compare alla fine dell'indagine e non all'inizio.
Prima il poligono arbitrario
Alla base del corso si può porre non un quadrato, un rombo o un trapezio, bensì un poligono arbitrario.
Un poligono può essere rappresentato come una sequenza di vertici:
A₁, A₂, A₃, ..., Aₙ
I vertici adiacenti sono collegati da lati, e l'ultimo vertice è collegato al primo.
Una tale rappresentazione ha elementi comuni:
- vertici;
- lati;
- angoli interni;
- diagonali;
- perimetro;
- area;
- verso di percorrenza;
- possibili intersezioni.
Questi elementi esistono indipendentemente dal fatto che la figura abbia o meno un nome speciale.
Perciò al bambino si può dare dapprima un insieme di metodi che funzionano con qualsiasi poligono, e solo dopo passare alle classi particolari.
La distanza tra due vertici qualsiasi
Se sono note le coordinate di due punti:
A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂),
la distanza tra essi si calcola con la formula universale:
AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Essa funziona per segmenti orizzontali, verticali e inclinati.
Se il segmento è verticale, le coordinate x coincidono:
x₁ = x₂
Allora la formula si semplifica automaticamente:
AB = |y₂ - y₁|
Se il segmento è orizzontale, coincidono le coordinate y:
y₁ = y₂
E rimane:
AB = |x₂ - x₁|
Risulta che non è necessario per il bambino memorizzare prima tre regole indipendenti. Può padroneggiare un'unica formula universale e ricavare i casi più brevi da solo.
Proprio qui si comprende il ruolo di ciascuna azione:
- le differenze mostrano lo spostamento nelle due direzioni;
- i quadrati eliminano la dipendenza dal segno e uniscono gli spostamenti perpendicolari secondo il teorema di Pitagora;
- la radice riconduce il quadrato della lunghezza alla lunghezza normale.
Una singola formula permette di:
- trovare le lunghezze dei lati;
- calcolare le diagonali;
- verificare l'uguaglianza dei segmenti;
- trovare il perimetro;
- individuare triangoli isosceli ed equilateri;
- verificare singole proprietà dei quadrilateri.
Direzioni invece del riconoscimento visivo
Per ciascun lato si può determinare una direzione.
Se sono noti i punti:
A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂),
allora il vettore del lato ha la forma:
AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)
Confrontando le direzioni di due lati, si può verificare se sono paralleli.
Per i vettori:
u = (a, b) e v = (c, d)
la condizione:
ad - bc = 0
significa che le direzioni sono parallele.
La perpendicolarità può essere verificata tramite il prodotto scalare:
u · v = ac + bd
Se:
ac + bd = 0,
allora le direzioni sono perpendicolari e l'angolo tra esse è pari a 90°.
In questo modo il bambino ottiene un modo universale per dimostrare che i lati sono paralleli o formano un angolo retto. Non ha più bisogno di affidarsi all'aspetto visivo del disegno.
Se in un quadrilatero si riscontrano quattro angoli retti, esso può essere chiamato rettangolo.
Se inoltre si scopre che tutti i lati sono uguali, può essere chiamato quadrato.
Ma il nome non aggiunge nulla ai fatti già accertati. Permette solo di trasmetterli in modo compatto a un'altra persona e di sfruttare le conseguenze note.
Qualsiasi poligono può essere studiato tramite i triangoli
Il triangolo occupa un posto speciale nella geometria.
Esso è il poligono chiuso più semplice, e qualsiasi poligono semplice può essere suddiviso in triangoli.
Un poligono con n vertici può essere diviso in:
n - 2
triangoli.
Dopodiché l'area dell'intera figura si trova come somma delle aree delle sue parti.
S = S₁ + S₂ + ... + Sₙ₋₂
Questo è un metodo universale. Funziona non solo per rettangoli, rombi e trapezi, ma anche per figure che non hanno un nome scolastico speciale.
Questo procedimento potrebbe non essere il più rapido. Con un grande numero di vertici sarà necessario tracciare molte diagonali ed elaborare separatamente ciascun triangolo.
Ma è proprio per questo che è utile studiarlo per primo.
Esso spiega:
- perché un'area complessa può essere composta da aree semplici;
- da dove provengono molte formule speciali;
- cosa fare se la formula pronta non è nota;
- perché i metodi più rapidi funzionano in generale.
L'allievo riceve dapprima un metodo generale affidabile, e solo dopo inizia a cercare modi per abbreviare i calcoli.
Il metodo dei lacci come ottimizzazione della soluzione generale
Se sono note le coordinate dei vertici disposti in sequenza, l'area di un poligono semplice può essere trovata con il metodo dei lacci.
Per i vertici:
(x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ)
l'area si calcola così:
S = 1/2 · |Σ(xᵢyᵢ₊₁ - yᵢxᵢ₊₁)|
Dopo l'ultimo vertice si utilizza nuovamente il primo:
(xₙ₊₁, yₙ₊₁) = (x₁, y₁)
Questo metodo non richiede di suddividere esplicitamente la figura in n - 2 triangoli. È sufficiente percorrere in sequenza tutti i vertici una sola volta.
Al contempo, il metodo dei lacci non è un'idea del tutto estranea. Alla sua base si trovano anch'esse le aree orientate dei triangoli. Semplicemente, le costruzioni intermedie sono racchiuse in un algoritmo più breve, e le aree in eccesso si sottraggono automaticamente a vicenda.
Ne risulta una sequenza di apprendimento naturale:
- Suddividere il poligono in triangoli.
- Calcolare l'area di ciascuna parte.
- Osservare le azioni ripetitive.
- Padroneggiare un metodo che le racchiude in un unico passaggio.
- Confrontare il costo delle due soluzioni.
Qui la geometria si collega naturalmente agli algoritmi e alla complessità di calcolo.
Il bambino inizia a porsi domande:
- quante azioni saranno necessarie;
- quali dati sono richiesti;
- quanti oggetti intermedi bisognerà costruire;
- dove è più alta la probabilità di errore;
- quale metodo è più facile da automatizzare;
- quanto rapidamente cresce il volume di lavoro all'aumentare del numero dei vertici.
Egli studia non più solo le formule, ma anche i principi di scelta del metodo.
Le formule speciali diventano abbreviazioni comprensibili
Dopo aver padroneggiato i metodi universali, si può tornare alle figure familiari.
Ad esempio, l'area di un rettangolo può sempre essere calcolata con il metodo dei lacci. Ma se sono noti la lunghezza a e la larghezza b, il calcolo si riduce a:
S = ab
L'area di un parallelogramma può essere trovata con il metodo coordinato universale, ma se l'altezza è nota è sufficiente:
S = ah
L'area di un trapezio può anch'essa essere ottenuta tramite coordinate o suddivisione in triangoli. Con basi a, b e altezza h note, il calcolo si riduce a:
S = ((a + b) / 2) · h
In quest'ordine, le formule speciali non competono con i metodi universali né li sostituiscono.
Esse rispondono a una domanda comprensibile:
Quali calcoli si possono tralasciare se alla figura vengono scoperte proprietà aggiuntive?
L'allievo vede non solo la formula, ma anche il prezzo della sua applicabilità.
La formula del rettangolo è più breve del metodo dei lacci, ma richiede di dimostrare o di ricavare dalla condizione che ci troviamo effettivamente di fronte a un rettangolo.
Il metodo universale è più lungo, ma non richiede di classificare preventivamente la figura.
La scelta del metodo dipende dai dati disponibili
Il modo migliore per risolvere un problema non è determinato solo dal tipo di figura.
Se sono noti la lunghezza e la larghezza di un rettangolo, è più comodo usare:
S = ab
Se sono note solo le coordinate dei suoi vertici, il metodo dei lacci può rivelarsi più diretto: non sarà necessario determinare separatamente la lunghezza, la larghezza e l'orientamento della figura.
Se viene fornito un disegno cartaceo senza coordinate, la figura può essere misurata e suddivisa in parti.
Se abbiamo davanti un contorno digitale con un milione di vertici, la suddivisione manuale perde senso. È necessario utilizzare un programma capace di elaborare l'intera mole di dati.
Perciò la domanda corretta non suona così:
Quale formula corrisponde al nome di questa figura?
Bensì così:
Quale metodo sfrutta al meglio i dati di cui già disponiamo?
Questo è proprio il passaggio dalla riproduzione di modelli scolastici al pensiero algoritmico.
Le figure reali possiedono raramente proprietà ideali
Nel libro di testo un angolo è o uguale a 90°, oppure non lo è.
In una misurazione reale si può ottenere:
89,7° ± 0,5°
Ora non si può più semplicemente chiedere: «Questo è un rettangolo oppure no?».
Innanzitutto è necessario determinare la tolleranza ammessa.
Per una pianta approssimativa di una stanza una certa deviazione può essere ininfluente. Per la fabbricazione di un componente di precisione la stessa deviazione risulterà inammissibile.
Al posto di un'uguaglianza rigorosa compare la condizione:
|α - 90°| < ε
dove ε è la deviazione ammessa, che dipende dallo scopo.
Ciò mostra un'altra limitazione dell'apprendimento attraverso figure ideali dotate di nome. Un oggetto reale non è tenuto a appartenere esattamente a una delle classi scolastiche.
I metodi universali permettono di lavorare con esso anche senza una classificazione definitiva:
- misurare tutti i lati;
- calcolare l'area;
- stimare gli angoli;
- determinare il grado di deviazione;
- comunicare l'incertezza del risultato.
Il nome diventa facoltativo.
Possiamo studiare l'oggetto anche se non abbiamo deciso se considerarlo o meno un rettangolo.
Il computer deve calcolare, e l'essere umano comprendere la soluzione
In presenza di un grande numero di vertici, nessuno applicherà mai manualmente la formula della distanza a ciascun lato né scriverà il metodo dei lacci su carta.
È ragionevole affidare questo lavoro a un computer o a un'IA.
Un sistema moderno può:
- riconoscere il contorno della figura;
- isolare i vertici;
- determinare il verso di percorrenza;
- trovare le intersezioni;
- selezionare l'algoritmo;
- calcolare il perimetro e l'area;
- stimare l'incertezza;
- mostrare le proprietà rilevate.
Ma per l'essere umano è ancora utile comprendere:
- cosa il sistema considera un vertice;
- quali dati sta utilizzando;
- se il contorno è chiuso;
- in quali unità è ottenuto il risultato;
- se vengono presi in considerazione eventuali fori;
- cosa accade in caso di autointersezione;
- perché l'algoritmo scelto è applicabile;
- come verificare la plausibilità della risposta.
Per fare questo non è necessario elaborare manualmente un milione di punti. Bisogna comprendere il nucleo geometrico minimo e il funzionamento del metodo applicato.
Lo scopo dell'istruzione cambia.
Non:
Insegnare all'essere umano a eseguire tutti i calcoli al posto del computer.
Bensì:
Insegnare all'essere umano a comprendere l'oggetto, a scegliere o controllare il metodo e a verificare il risultato del calcolo.
Come potrebbe essere un altro corso sui poligoni
L'apprendimento potrebbe essere strutturato nel seguente ordine.
1. Figura arbitraria
Il bambino riceve un contorno privo di un nome speciale e impara a individuare vertici, lati, diagonali e angoli.
2. Misurazioni universali
Padroneggia coordinate, distanze, direzioni, perimetro e area.
3. Soluzione universale
Impara a suddividere la figura in triangoli e ottiene un modo per lavorare con qualsiasi poligono semplice.
4. Riduzione algoritmica
All'aumentare del numero dei vertici si scopre l'elevato costo della triangolazione manuale. Emerge il metodo dei lacci o una sua equivalente automatizzazione.
5. Rilevamento delle proprietà
Il bambino verifica:
- quali lati sono uguali;
- quali lati sono paralleli;
- dove si trovano gli angoli retti;
- come sono collegate le diagonali;
- quali proprietà si ripetono in diverse figure.
6. Classificazione
Per combinazioni stabili di proprietà vengono introdotti i nomi:
- parallelogramma;
- rettangolo;
- rombo;
- quadrato;
- trapezio.
7. Ottimizzazioni particolari
Dai metodi generali si ricavano formule brevi per figure con restrizioni supplementari.
8. Automatizzazione e verifica
Il bambino applica una tabella, un programma o un'IA a figure con un gran numero di vertici e impara a verificare il risultato ottenuto.
In un simile corso i nomi e le formule speciali non scompaiono affatto. Occupano semplicemente il loro posto naturale.
I nomi sono utili, ma non devono essere il fondamento
I termini consentono di trasmettere rapidamente grandi insiemi di proprietà.
Dire «quadrato» è più comodo che elencare ogni volta:
- quattro lati;
- tutti i lati sono uguali;
- tutti gli angoli sono retti;
- i lati opposti sono paralleli;
- le diagonali sono uguali;
- le diagonali sono perpendicolari;
- le diagonali si intersecano dividendosi a metà.
Anche le formule specializzate fanno risparmiare calcoli.
Il problema non sorge a causa dei nomi e delle formule in sé, bensì a causa dell'ordine in cui vengono studiati.
Se il bambino memorizza prima il nome e poi cerca di collegarlo all'elenco delle proprietà, la geometria si trasforma in un catalogo di simboli convenzionali.
Se invece studia prima l'oggetto, ne scopre le proprietà e si scontra con calcoli ripetitivi, i nomi e le formule diventano la risposta a un bisogno già compreso.
Allora:
- il «rettangolo» condensa un insieme di condizioni dimostrate;
S = ababbrevia il calcolo universale dell'area;- il metodo dei lacci accelera l'elaborazione di un gran numero di vertici;
- il programma automatizza le operazioni ripetitive;
- l'IA aiuta a passare dall'immagine al modello matematico.
Ogni nuovo livello non sostituisce il precedente, ma lo ottimizza.
La geometria deve insegnare a investigare l'ignoto
Non è necessario che il bambino ricordi il nome di ogni poligono.
È molto più importante che, di fronte a una figura sconosciuta, sappia porre le domande:
- Da quali elementi è composta?
- Quali dati sono noti su di essa?
- Cosa si può misurare o calcolare?
- Quali proprietà si possono dimostrare?
- Quale metodo universale è applicabile qui?
- È possibile abbreviare la soluzione grazie alle proprietà trovate?
- Conviene eseguire i calcoli a mano o affidarli a uno strumento?
- Come verificare il risultato ottenuto?
Un simile modo di pensare continua a funzionare anche quando la figura cessa di assomigliare a un'immagine scolastica, il numero dei vertici diventa elevato, i dati contengono errori e i calcoli sono eseguiti da un computer.
Il risultato principale dello studio dei poligoni non è allora la capacità di distinguere un rombo da un trapezio.
Il bambino acquisisce un'abilità più universale:
prendere un oggetto sconosciuto, rappresentarlo in forma calcolabile, studiarlo con metodi generali, scoprire regolarità e solo allora utilizzare nomi e formule brevi per accelerare la soluzione.
È proprio questo che la geometria è in grado di insegnare molto prima che il bambino si scontri con algoritmi, programmazione e problemi ingegneristici reali.
