Çokgenler genel yöntemlerden özel isimlere doğru incelenmelidir

Çokgenlerin incelenmesi genellikle üçgenle başlar, ardından çocuğa sırayla yeni şekiller gösterilir:

• paralelkenar;
• dikdörtgen;
• eşkenar dörtgen;
• kare;
• yamuk;
• düzgün çokgenler.

Her şekil kendi adını, tanımını, belirtiler kümesini, özellikler listesini ve birkaç özel formülü alır.

Bu tür bilgilerin yeterince biriktirilmesiyle öğrencinin geometrik problemleri çözmeyi öğreneceği varsayılır.

Ancak bununla birlikte çocukta tamamen farklı bir model oluşabilir:

Her şekil için doğru bir isim vardır ve her ismin arkasında hatırlanması gereken bir formül gizlidir.

Çocuğun önünde tanınabilir bir şekil olduğu sürece bu sistem çalışır. Ancak kareyi döndürmek, dikdörtgeni biraz bozmak veya düzensiz bir yedigen göstermek yeterlidir – alışılmış referans noktaları kaybolur.

Çocuk bilinen şekillerle ilgili problemleri çözebilmektedir, ancak rastgele bir şekille ne yapacağını bilememektedir.

Şekil adı, problemin ek bir koşuludur

Problemde şöyle deniyorsa:

ABCD dikdörtgeni verilmiştir.

bu sadece çizilmiş nesnenin bir adı değildir.

Matematiksel anlamda bize şunlar bildirilmiştir:

• karşımızda bir dörtgen var;
• iç açılarının her biri 90°'ye eşittir.

Bu koşullardan ve daha önce kanıtlanmış teoremlerden diğer özellikler çıkar:

• karşı kenarlar paraleldir;
• karşı kenarlar eşittir;
• köşegenler eşittir;
• köşegenler birbirini ortalar;
• alan, uzunluk ve genişliğin çarpımı olarak hesaplanabilir.

«Dikdörtgen» adı, kompakt bir şekilde yazılmış bir garanti seti olarak çalışır.

dörtgen + dört dik açı = dikdörtgen

Ancak bu garantiler şekli tamamen tanımlamak zorunda değildir.

Aynı dikdörtgenin tüm kenarları eşitse karşımızda bir kare vardır. Bu durumda dikdörtgen olmaktan vazgeçmez.

Kare aynı anda şunlardır:

• bir dörtgendir;
• bir paralelkenardır;
• bir dikdörtgendir;
• bir eşkenar dörtgendir;
• bir karedir.

Her sonraki kavram, öncekileri iptal etmeden yeni kısıtlamalar ekler.

dörtgen

+ karşı kenarlar paraleldir

= paralelkenar

+ dik açılar

= dikdörtgen

+ eşit kenarlar

= kare

Bu nedenle şekil adlarını birbirini dışlayan resim türleri olarak değil, kanıtlanmış özellik setlerinin etiketleri olarak algılamak daha iyidir.

Çizimden özellikler kesin olarak belirlenemez

Şekil bir dikdörtgen gibi görünebilir, ancak bu, açılarının tam olarak 90° olduğunu kanıtlamaz.

Açı 89° olabilir ve görüntü yine de dikdörtgen gibi görünebilir. Uzatıldıklarında kesişecek olsalar bile karşı kenarlar paralel görünebilir. Kare hafif bir bozulmayla çizilmiş olabilir veya rastgele bir eşkenar dörtgen neredeyse kare gibi görünebilir.

Çizim koşulu hayal etmeye yardımcı olur, ancak onun yerini almaz.

Şeklin özelliklerini belirlemek için ek veriler gereklidir:

• köşelerin koordinatları;
• kenar uzunlukları;
• açı değerleri;
• çizim üzerindeki işaretler;
• ölçüm sonuçları;
• daha önce kanıtlanmış ilişkiler.

Bu, akıl yürütme sırasını kökten değiştirir.

Şunun yerine:

resim → ismin tanınması → özelliklerin hatırlanması

şunlar kullanılabilir:

veriler → ölçüm → koşulların kontrolü → kanıtlanmış özellikler → sınıflandırma

Bu durumda isim, araştırmanın başında değil sonunda ortaya çıkar.

Önce rastgele çokgen

Kursun temelinde kare, eşkenar dörtgen veya yamuk değil, rastgele bir çokgen yer alabilir.

Çokgen bir dizi köşe olarak temsil edilebilir:

A₁, A₂, A₃, ..., Aₙ

Komşu köşeler kenarlarla birleştirilir ve son köşe ilk köşeyle birleştirilir.

Böyle bir temsilin ortak elemanları vardır:

• köşeler;
• kenarlar;
• iç açılar;
• köşegenler;
• çevre;
• alan;
• dolaşım yönü;
• olası kesişimler.

Bu elemanlar, şeklin özel bir adı olup olmasından bağımsız olarak var olurlar.

Bu nedenle çocuğa önce herhangi bir çokgenle çalışan yöntemler verilebilir ve ancak bundan sonra özel sınıflara geçilebilir.

Herhangi iki köşe arasındaki mesafe

İki noktanın koordinatları biliniyorsa:

A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂),

bunlar arasındaki mesafe evrensel formülle hesaplanır:

AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Yatay, dikey ve eğimli parçalar için çalışır.

Eğer parça dikeyse, x koordinatları çakışır:

x₁ = x₂

O zaman formül otomatik olarak basitleşir:

AB = |y₂ - y₁|

Eğer parça yataysa, y koordinatları çakışır:

y₁ = y₂

Ve geriye kalan:

AB = |x₂ - x₁|

Görüş o ki, çocuğun önce bağımsız üç kuralı ezberlemesi gerekmez. Tek bir evrensel formüle hakim olabilir ve daha kısa durumları bundan kendisi çıkarabilir.

Burada her eylemin rolü de anlaşılır hale gelir:

• farklar iki yöndeki kaymayı gösterir;
• kareler işarete olan bağımlılığı ortadan kaldırır ve Pisagor teoremine göre dik kaymaları birleştirir;
• kök, uzunluğun karesini normal uzunluğa döndürür.

Tek bir formül şunları sağlar:

• kenar uzunluklarını bulmak;
• köşegenleri hesaplamak;
• parça eşitliğini kontrol etmek;
• çevreyi bulmak;
• ikizkenar ve eşkenar üçgenleri tespit etmek;
• dörtgenlerin bireysel özelliklerini kontrol etmek.

Görsel tanıma yerine yönler

Her kenar için bir yön belirlenebilir.

Noktalar biliniyorsa:

A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂),

o zaman kenar vektörünün görünümü şöyledir:

AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)

İki kenarın yönlerini karşılaştırarak paralel olup olmadıkları kontrol edilebilir.

Vektörler için:

u = (a, b) ve v = (c, d)

koşul:

ad - bc = 0

yönlerin paralel olduğu anlamına gelir.

Diklik, skaler çarpım aracılığıyla kontrol edilebilir:

u · v = ac + bd

Eğer:

ac + bd = 0,

o zaman yönler diktir ve aralarındaki açı 90°'dir.

Böylece çocuk, kenarların paralel olduğunu veya dik bir açı oluşturduğunu kanıtlamak için evrensel bir yol elde eder. Artık çizimin görünümüne güvenmek zorunda değildir.

Bir dörtgende dört dik açı bulunursa, buna dikdörtgen denebilir.

Ek olarak tüm kenarların eşit olduğu ortaya çıkarsa, buna kare denebilir.

Ancak isim, halihazırda kurulmuş gerçeklere hiçbir şey eklemez. Yalnızca bunları başka bir kişiye kompakt bir şekilde aktarmaya ve bilinen sonuçları kullanmaya izin verir.

Herhangi bir çokgen üçgenler aracılığıyla incelenebilir

Üçgen geometride özel bir yer tutar.

En basit kapalı çokgendir ve herhangi bir basit çokgen üçgenlere bölünebilir.

n köşeli bir çokgen şuna bölünebilir:

n - 2

tane üçgen.

Bundan sonra tüm şeklin alanı, parçalarının alanlarının toplamı olarak bulunur.

S = S₁ + S₂ + ... + Sₙ₋₂

Bu evrensel bir yöntemdir. Yalnızca dikdörtgenler, eşkenar dörtgenler ve yamuklar için değil, özel bir okul adı olmayan şekiller için de işe yarar.

Bu yöntem en hızlısı olmayabilir. Çok sayıda köşeyle birlikte birçok köşegenin oluşturulması ve her üçgenin ayrı ayrı işlenmesi gerekecektir.

Ancak tam da bu yüzden ilk önce incelenmesi yararlıdır.

Şunları açıklar:

• karmaşık bir alanın neden basit olanlardan oluşturulabileceği;
• birçok özel formülün nereden geldiği;
• hazır formül bilinmiyorsa ne yapılacağı;
• daha hızlı yöntemlerin neden genel olarak çalıştığı.

Öğrenci önce güvenilir bir genel yol elde eder ve ardından hesaplamaları kısaltmanın yollarını aramaya başlar.

Genel çözümün optimizasyonu olarak bağcık yöntemi

Art arda yerleştirilen köşelerin koordinatları biliniyorsa, basit bir çokgenin alanı bağcık yöntemiyle bulunabilir.

Köşeler için:

(x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ)

alan şu şekilde hesaplanır:

S = 1/2 · |Σ(xᵢyᵢ₊₁ - yᵢxᵢ₊₁)|

Son köşe geçildikten sonra tekrar ilk köşe kullanılır:

(xₙ₊₁, yₙ₊₁) = (x₁, y₁)

Bu yöntem, şeklin açıkça n - 2 üçgene bölünmesini gerektirmez. Tüm köşeleri bir kez art arda dolaşmak yeterlidir.

Bununla birlikte, bağcık tamamen yabancı bir fikir değildir. Temelinde yönlendirilmiş üçgen alanları da yatar. Sadece ara yapılar daha kısa bir algoritmada katlanmıştır ve gereksiz alanlar otomatik olarak birbirinden çıkarılır.

Doğal bir öğrenme dizisi ortaya çıkar:

1. Çokgeni üçgenlere bölmek.
2. Her parçanın alanını hesaplamak.
3. Tekrarlanan eylemleri fark etmek.
4. Bunları tek bir geçişte özetleyen yönteme hakim olmak.
5. İki çözümün maliyetini karşılaştırmak.

Burada geometri doğal olarak algoritmalar ve hesaplama karmaşıklığı ile bağlanır.

Çocuk şu soruları sormaya başlar:

• kaç eylem gerekecek;
• hangi veriler gereklidir;
• kaç ara nesne oluşturulması gerekecek;
• hata olasılığı nerede daha yüksektir;
• hangi yöntemi otomatikleştirmek daha kolaydır;
• köşe sayısının artmasıyla iş hacmi ne kadar hızlı büyür.

Artık sadece formülleri değil, yöntem seçimi ilkelerini de inceler.

Özel formüller anlaşılır kısaltmalar haline gelir

Evrensel yöntemlerde ustalaştıktan sonra tanıdık şekillere geri dönülebilir.

Örneğin, bir dikdörtgenin alanı her zaman bağcık yöntemiyle hesaplanabilir. Ancak uzunluk a ve genişlik b biliniyorsa hesaplama şuna indirgenir:

S = ab

Paralelkenarın alanı evrensel koordinat yöntemiyle bulunabilir, ancak bilinen yükseklikle şu yeterlidir:

S = ah

Yamuğun alanı da koordinatlar veya üçgenlere bölünmeyle elde edilebilir. Bilinen tabanlar a, b ve yükseklik h ile hesaplama şuna indirgenir:

S = ((a + b) / 2) · h

Bu sırayla özel formüller evrensel yöntemlerle rekabet etmez ve onların yerini almaz.

Şu anlaşılır soruyu yanıtlarlar:

Şekilde ek özellikler bulunursa hangi hesaplamalar atlanabilir?

Öğrenci sadece formülü değil, uygulanabilirliğinin bedelini de görür.

Dikdörtgen formülü bağcık yönteminden daha kısadır, ancak karşımızdakinin gerçekten bir dikdörtgen olduğunu kanıtlamayı veya koşuldan çıkarmayı gerektirir.

Evrensel yöntem daha uzundur, ancak şekli önceden sınıflandırmayı gerektirmez.

Yöntem seçimi mevcut verilere bağlıdır

En iyi çözüm yolu sadece şeklin türü tarafından belirlenmez.

Dikdörtgenin uzunluğu ve genişliği biliniyorsa şunu kullanmak daha uygundur:

S = ab

Yalnızca köşelerinin koordinatları biliniyorsa, bağcık yöntemi daha doğrudan çıkabilir: şeklin uzunluğunu, genişliğini ve yönelimini ayrı ayrı belirlemek gerekmeyecektir.

Koordinatsız kağıt çizimi verilmişse, şekil ölçülebilir ve parçalara ayrılabilir.

Önümüzde bir milyon köşeli dijital bir kontur varsa, manuel bölünme anlamını yitirir. Tüm veri dizisini işleyebilecek bir program kullanmak gereklidir.

Bu nedenle doğru soru şöyle sorulmaz:

Hangi formül bu şeklin adına karşılık gelir?

Şöyle sorulur:

Hangi yöntem halihazırda sahip olduğumuz verileri daha iyi kullanır?

Bu, okul şablonlarını yeniden üretmekten algoritmik düşünceye geçiştir.

Gerçek şekiller nadiren ideal özelliklere sahiptir

Ders kitabında açı ya 90°'dir ya da değildir.

Gerçek bir ölçümde şu çıkabilir:

89,7° ± 0,5°

Artık basitçe şu sorulamaz: "Bu bir dikdörtgen mi yoksa değil mi?"

Öncelikle izin verilen hatayı belirlemek gereklidir.

Yaklaşık bir oda planı için bazı sapmalar önemsiz olabilir. Hassas bir parça üretmek için aynı sapma kabul edilemez olacaktır.

Katı eşitlik yerine şu koşul ortaya çıkar:

|α - 90°| < ε

burada ε – amaca bağlı olarak izin verilen sapmadır.

Bu, ideal isimlendirilmiş şekiller yoluyla öğrenmenin bir başka kısıtlamasını gösterir. Gerçek nesnenin okul sınıflarından birine tam olarak ait olması gerekmez.

Evrensel yöntemler, kesin sınıflandırma olmadan bile onunla çalışmanıza izin verir:

• tüm kenarları ölçmek;
• alanı hesaplamak;
• açıları değerlendirmek;
• sapma derecesini belirlemek;
• sonucun hatasını bildirmek.

İsim isteğe bağlı hale gelir.

Nesneyi, onu bir dikdörtgen olarak kabul edip etmemeye karar vermesek bile inceleyebiliriz.

Bilgisayar hesaplamalı, insan ise çözümü anlamalıdır

Çok sayıda köşeyle birlikte hiç kimse her kenara mesafe formülünü manuel olarak uygulamayacak veya bağcık yöntemini kağıt üzerinde yazmayacaktır.

Bu işi bir bilgisayara veya yapay zekaya emanet etmek mantıklıdır.

Modern bir sistem şunları yapabilir:

• şeklin sınırını tanımak;
• köşeleri ayırmak;
• dolaşım düzenini belirlemek;
• kesişimleri bulmak;
• algoritma seçmek;
• çevre ve alanı hesaplamak;
• hatayı tahmin etmek;
• keşfedilen özellikleri göstermek.

Ancak insanın yine de şunları anlaması yararlıdır:

• sistemin neyi köşe olarak kabul ettiği;
• hangi verileri kullandığı;
• konturun kapalı olup olmadığı;
• sonucun hangi birimlerde elde edildiği;
• deliklerin hesaba katılıp katılamayacağı;
• kendine kesişim durumunda ne olacağı;
• seçilen algoritmanın neden uygulanabilir olduğu;
• cevabın güvenilirliğinin nasıl kontrol edileceği.

Bunun için bir milyon noktayı manuel olarak işlemeye gerek yoktur. Minimum geometrik çekirdeği ve uygulanan yöntemin yapısını anlamak gerekir.

Öğrenmenin amacı değişir.

Şu değil:

İnsana bilgisayar yerine tüm hesaplamaları yapmayı öğretmek.

Şu:

İnsana nesneyi anlamayı, yöntemi seçmeyi veya kontrol etmeyi ve hesaplama sonucunu doğrulamayı öğretmek.

Farklı bir çokgen kursu nasıl görünebilirdi

Eğitim şu sırayla oluşturulabilirdi:

1. Rastgele şekil

Çocuk özel bir adı olmayan bir kontur alır ve köşeleri, kenarları, köşegenleri ve açıları ayırmayı öğrenir.

2. Evrensel ölçümler

Koordinatları, mesafeleri, yönleri, çevreyi ve alanı öğrenir.

3. Evrensel çözüm

Şekli üçgenlere ayırmayı öğrenir ve herhangi bir basit çokgenle çalışmanın bir yolunu elde eder.

4. Algoritmik kısaltma

Köşe sayısının artmasıyla manuel üçgenlemenin yüksek maliyeti ortaya çıkar. Bağcık yöntemi veya benzer otomasyonu ortaya çıkar.

5. Özelliklerin keşfi

Çocuk şunları kontrol eder:

• hangi kenarlar eşittir;
• hangi kenarlar paraleldir;
• dik açılar nerededir;
• köşegenler nasıl ilişkilidir;
• farklı şekillerde hangi özellikler tekrarlanır.

6. Sınıflandırma

Özelliklerin kararlı kombinasyonları için isimler girilir:

• paralelkenar;
• dikdörtgen;
• eşkenar dörtgen;
• kare;
• yamuk.

7. Kısmi optimizasyonlar

Genel yöntemlerden ek kısıtlamalara sahip şekiller için kısa formüller türetilir.

8. Otomasyon ve doğrulama

Çocuk, çok sayıda köşeye sahip şekillere bir tablo, program veya yapay zeka uygular ve elde edilen sonucu kontrol etmeyi öğrenir.

Böyle bir kursun içinde isimler ve özel formüller hiçbir yere kaybolmaz. Sadece doğal yerlerini alırlar.

İsimler yararlıdır, ancak temel olmamalıdır

Terimler, büyük özellik setlerini hızla aktarmaya izin verir.

«Kare» demek, her seferinde şunları sıralamaktan daha uygundur:

• dört kenar;
• tüm kenarlar eşit;
• tüm açılar dik;
• karşı kenarlar paralel;
• köşegenler eşit;
• köşegenler dik;
• köşegenler birbirini ortalar.

Özelleştirilmiş formüller de hesaplamalardan tasarruf sağlar.

Sorun isimlerin ve formüllerin kendisinden değil, öğrenilme sırasından kaynaklanır.

Çocuk önce ismi ezberler ve ardından onu özellikler listesiyle ilişkilendirmeye çalışırsa, geometri geleneksel işaretler kataloğuna dönüşür.

Eğer nesneyi önce incelerse, özellikleri keşfederse ve tekrarlanan hesaplamalarla karşılaşırsa, isimler ve formüller zaten anlaşılan bir ihtiyacın cevabı haline gelir.

O zaman:

• «dikdörtgen» kanıtlanmış bir koşul kümesini sıkıştırır;
• S = ab evrensel alan hesaplamasını kısaltır;
• bağcık yöntemi çok sayıda köşenin işlenmesini hızlandırır;
• program tekrarlanan işlemleri otomatikleştirir;
• yapay zeka, görüntüden matematiksel modele geçişe yardımcı olur.

Her yeni seviye öncekinin yerini almaz, onu optimize eder.

Geometri bilinmeyeni araştırmayı öğretmelidir

Çocuğun her çokgenin adını hatırlaması gerekmez.

Bilinmeyen bir şekille karşılaşıldığında şu soruları sorabilmesi çok daha önemlidir:

1. Hangi elemanlardan oluşuyor?
2. Onun hakkında hangi veriler biliniyor?
3. Ne ölçülebilir veya hesaplanabilir?
4. Hangi özellikler kanıtlanabilir?
5. Burada hangi evrensel yöntem uygulanabilir?
6. Bulunan özellikler sayesinde çözüm kısaltılabilir mi?
7. Hesaplamaları manuel olarak yapmaya değer mi yoksa bir araca mı emanet edilmeli?
8. Elde edilen sonuç nasıl kontrol edilir?

Böyle bir düşünce, şekil okul resmine benzemeyi bıraktığında, köşe sayısı büyük olduğunda, veriler hata içerdiğinde ve hesaplamaları bilgisayar yaptığında bile çalışmaya devam eder.

O zaman çokgenleri incelemenin ana sonucu, eşkenar dörtgeni yamuktan ayırt etme yeteneği olmaz.

Çocuk daha evrensel bir beceri kazanır:

bilinmeyen bir nesneyi almak, onu hesaplanabilir bir biçimde temsil etmek, genel yöntemlerle incelemek, düzenlilikleri keşfetmek ve ancak o zaman çözümü hızlandırmak için isimleri ve kısa formülleri kullanmak.

Geometri, çocuk algoritmalarla, programlamayla ve gerçek mühendislik görevleriyle karşılaşmadan çok önce tam olarak bunu öğretebilir.