बहुभुजों का अध्ययन सामान्य विधियों से विशिष्ट नामों की ओर किया जाना चाहिए

बहुभुजों का अध्ययन आमतौर पर त्रिभुज से शुरू होता है, जिसके बाद बच्चे को लगातार नई आकृतियाँ दिखाई जाती हैं:

• समानांतर चतुर्भुज;
• आयत;
• समचतुर्भुज;
• वर्ग;
• समलम्ब चतुर्भुज;
• नियमित बहुभुज।

प्रत्येक आकृति को उसका अपना नाम, परिभाषा, लक्षणों का एक सेट, गुणों की एक सूची और कुछ विशेष सूत्र मिलते हैं।

यह माना जाता है कि ऐसा पर्याप्त ज्ञान संचित करने के बाद, छात्र ज्यामितीय समस्याओं को हल करना सीख जाएगा।

लेकिन इसके साथ ही, उसके मन में एक बिल्कुल अलग मॉडल बन सकता है:

प्रत्येक आकृति के लिए एक सही नाम मौजूद होता है, और प्रत्येक नाम के पीछे एक सूत्र छिपा होता है जिसे याद रखने की आवश्यकता होती है।

जब तक बच्चे के सामने कोई पहचानी जाने वाली आकृति होती है, तब तक यह प्रणाली काम करती है। लेकिन जैसे ही हम वर्ग को घुमाते हैं, आयत को थोड़ा विकृत करते हैं या एक अनियमित सप्तभुज दिखाते हैं - परिचित स्थलचिह्न गायब हो जाते हैं।

बच्चा ज्ञात आकृतियों के बारे में समस्याओं को हल करना जानता है, लेकिन वह नहीं जानता कि एक यादृच्छिक आकृति के साथ क्या करना है।

आकृति का नाम — समस्या की एक अतिरिक्त शर्त है

यदि समस्या में कहा गया है:

आयत ABCD दिया गया है।

यह केवल खींची गई वस्तु का नाम नहीं है।

गणितीय अर्थ में हमें सूचित किया गया है:

• हमारे सामने एक चतुर्भुज है;
• इसका प्रत्येक आंतरिक कोण 90° है।

इन शर्तों और पहले से सिद्ध प्रमेयों से अन्य गुण सामने आते हैं:

• विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं;
• विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं;
• विकर्ण बराबर होते हैं;
• विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं;
• क्षेत्रफल को लंबाई और चौड़ाई के गुणनफल के रूप में गणना किया जा सकता है।

नाम "आयत" गारंटी के एक संकुचित रूप से दर्ज सेट के रूप में काम करता है।

चतुर्भुज + चार समकोण = आयत

लेकिन ये गारंटियाँ जरूरी नहीं कि आकृति का पूरी तरह से वर्णन करें।

यदि उसी आयत की सभी भुजाएँ बराबर हैं, तो हमारे सामने एक वर्ग है। साथ ही, यह एक आयत रहना बंद नहीं करता है।

एक वर्ग एक साथ निम्न है:

• एक चतुर्भुज;
• एक समानांतर चतुर्भुज;
• एक आयत;
• एक समचतुर्भुज;
• एक वर्ग।

प्रत्येक अगली अवधारणा पिछले वाले को रद्द किए बिना नए प्रतिबंध जोड़ती है।

चतुर्भुज

+ विपरीत भुजाएँ समानांतर हैं

= समानांतर चतुर्भुज

+ समकोण

= आयत

+ बराबर भुजाएँ

= वर्ग

इसलिए, आकृतियों के नामों को परस्पर अनन्य प्रकार के चित्रों के रूप में नहीं, बल्कि सिद्ध गुणों के सेट के लिए लेबल के रूप में माना जाना बेहतर है।

ड्राइंग से गुणों का सटीक निर्धारण नहीं किया जा सकता है

आकृति आयत जैसी दिख सकती है, लेकिन यह अभी भी साबित नहीं करती है कि इसके कोण ठीक 90° के हैं।

कोण 89° हो सकता है, और छवि फिर भी आयताकार दिखाई देगी। विपरीत भुजाएँ समानांतर लग सकती हैं, हालाँकि आगे बढ़ाने पर वे प्रतिच्छेद करेंगी। वर्ग को थोड़ी विकृति के साथ खींचा जा सकता है, और एक यादृच्छिक समचतुर्भुज लगभग वर्गाकार दिख सकता है।

ड्राइंग शर्त की कल्पना करने में मदद करती है, लेकिन इसे प्रतिस्थापित नहीं करती है।

आकृति के गुणों को स्थापित करने के लिए, अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता होती है:

• शीर्षों के निर्देशांक;
• भुजाओं की लंबाई;
• कोणों के मान;
• ड्राइंग पर पदनाम;
• माप परिणाम;
• पहले से सिद्ध संबंध।

यह तर्क के क्रम को मौलिक रूप से बदल देता है।

इसके बजाय:

चित्र → नाम की पहचान → गुणों की याद

हम उपयोग कर सकते हैं:

डेटा → माप → शर्तों की जाँच → सिद्ध गुण → वर्गीकरण

इस मामले में, नाम अध्ययन के अंत में प्रकट होता है, न कि इसके शुरुआत में।

पहले एक यादृच्छिक बहुभुज

पाठ्यक्रम के केंद्र में हम वर्ग, समचतुर्भुज या समलम्ब चतुर्भुज के बजाय एक यादृच्छिक बहुभुज रख सकते हैं।

बहुभुज को शीर्षों के अनुक्रम के रूप में दर्शाया जा सकता है:

A₁, A₂, A₃, ..., Aₙ

आसन्न शीर्षों को भुजाओं द्वारा जोड़ा जाता है, और अंतिम शीर्ष पहले वाले से जुड़ा होता है।

इस प्रतिनिधित्व के सामान्य तत्व हैं:

• शीर्ष;
• भुजाएँ;
• आंतरिक कोण;
• विकर्ण;
• परिमाप;
• क्षेत्रफल;
• बाईपास की दिशा;
• संभावित चौराहे।

ये तत्व इस बात की परवाह किए बिना मौजूद हैं कि क्या आकृति का कोई विशेष नाम है।

इसलिए, बच्चे को पहले किसी भी बहुभुज के साथ काम करने वाली विधियों का एक सेट दिया जा सकता है, और उसके बाद ही विशिष्ट वर्गों पर आगे बढ़ना चाहिए।

किन्हीं दो शीर्षों के बीच की दूरी

यदि दो बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात हैं:

A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂),

उनके बीच की दूरी सार्वभौमिक सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

यह क्षैतिज, ऊर्ध्वाधर और झुके हुए खंडों के लिए काम करता है।

यदि खंड ऊर्ध्वाधर है, तो x निर्देशांक मेल खाते हैं:

x₁ = x₂

फिर सूत्र स्वचालित रूप से सरल हो जाता है:

AB = |y₂ - y₁|

यदि खंड क्षैतिज है, तो y निर्देशांक मेल खाते हैं:

y₁ = y₂

और यह रहता है:

AB = |x₂ - x₁|

यह पता चलता है कि बच्चे के लिए पहले तीन स्वतंत्र नियमों को याद रखना आवश्यक नहीं है। वह एक सार्वभौमिक सूत्र में महारत हासिल कर सकता है और इससे छोटे मामलों को स्वतंत्र रूप से प्राप्त कर सकता है।

यहीं पर प्रत्येक कार्रवाई की भूमिका स्पष्ट हो जाती है:

• अंतर दो दिशाओं में बदलाव दिखाते हैं;
• वर्ग संकेत से स्वतंत्रता को दूर करते हैं और पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार लंबवत बदलावों को जोड़ते हैं;
• मूल लंबाई के वर्ग को सामान्य लंबाई में लौटाती है।

एक सूत्र अनुमति देता है:

• भुजाओं की लंबाई खोजने के लिए;
• विकर्णों की गणना करने के लिए;
• खंडों की समानता की जाँच करने के लिए;
• परिमाप खोजने के लिए;
• समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुजों का पता लगाने के लिए;
• चतुर्भुजों के व्यक्तिगत गुणों की जाँच करने के लिए।

दृश्य पहचान के बजाय दिशाएँ

प्रत्येक पक्ष के लिए एक दिशा निर्धारित की जा सकती है।

यदि बिंदु ज्ञात हैं:

A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂),

तो पक्ष सदिश का रूप है:

AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)

दो पक्षों की दिशाओं की तुलना करके, हम जाँच कर सकते हैं कि क्या वे समानांतर हैं।

सदिशों के लिए:

u = (a, b) और v = (c, d)

शर्त:

ad - bc = 0

इसका मतलब है कि दिशाएँ समानांतर हैं।

लंबवतता की जाँच अदिश गुणनफल के माध्यम से की जा सकती है:

u · v = ac + bd

यदि:

ac + bd = 0,

तो दिशाएँ लंबवत हैं, और उनके बीच का कोण 90° है।

इस प्रकार बच्चे को यह साबित करने का एक सार्वभौमिक तरीका मिलता है कि भुजाएँ समानांतर हैं या समकोण बनाती हैं। उसे अब ड्राइंग की उपस्थिति पर भरोसा करने की आवश्यकता नहीं है।

यदि किसी चतुर्भुज में चार समकोण पाए जाते हैं, तो इसे आयत कहा जा सकता है।

यदि यह अतिरिक्त रूप से पता चलता है कि सभी भुजाएँ बराबर हैं, तो इसे एक वर्ग कहा जा सकता है।

लेकिन नाम पहले से स्थापित तथ्यों में कुछ भी नहीं जोड़ता है। यह केवल उन्हें किसी अन्य व्यक्ति को संकुचित रूप से प्रसारित करने और ज्ञात परिणामों का उपयोग करने की अनुमति देता है।

किसी भी बहुभुज का अध्ययन त्रिभुजों के माध्यम से किया जा सकता है

त्रिभुज ज्यामिति में एक विशेष स्थान रखता है।

यह सबसे सरल बंद बहुभुज है, और किसी भी साधारण बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।

n शीर्षों वाले बहुभुज को विभाजित किया जा सकता है:

n - 2

त्रिभुजों में।

उसके बाद पूरी आकृति का क्षेत्रफल उसके भागों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में पाया जाता है।

S = S₁ + S₂ + ... + Sₙ₋₂

यह एक सार्वभौमिक विधि है। यह न केवल आयतों, समचतुर्भुजों और समलम्ब चतुर्भुजों के लिए काम करती है, बल्कि उन आकृतियों के लिए भी काम करती है जिनका कोई विशेष स्कूली नाम नहीं है।

यह तरीका सबसे तेज नहीं हो सकता है। बड़ी संख्या में शीर्षों के साथ, कई विकर्णों का निर्माण करना होगा और प्रत्येक त्रिभुज को अलग से संसाधित करना होगा।

लेकिन ठीक इसी वजह से इसे पहले अध्ययन करना उपयोगी है।

यह समझाता है:

• एक जटिल क्षेत्र को सरल क्षेत्रों से क्यों इकट्ठा किया जा सकता है;
• कई विशेष सूत्र कहाँ से आते हैं;
• यदि तैयार सूत्र अज्ञात है तो क्या करें;
• तेज़ तरीके वास्तव में क्यों काम करते हैं।

छात्र को पहले एक विश्वसनीय सामान्य तरीका मिलता है, और उसके बाद वह गणना को छोटा करने के तरीके खोजना शुरू करता है।

सामान्य समाधान के अनुकूलन के रूप में लेस विधि (शूलेस विधि)

यदि क्रमिक रूप से स्थित शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात हैं, तो एक साधारण बहुभुज के क्षेत्रफल को लेस विधि का उपयोग करके पाया जा सकता है।

शीर्षों के लिए:

(x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ)

क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है:

S = 1/2 · |Σ(xᵢyᵢ₊₁ - yᵢxᵢ₊₁)|

अंतिम शीर्ष के बाद फिर से पहले का उपयोग किया जाता है:

(xₙ₊₁, yₙ₊₁) = (x₁, y₁)

इस पद्धति के लिए आकृति को स्पष्ट रूप से n - 2 त्रिभुजों में विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है। सभी शीर्षों को क्रमिक रूप से एक बार बायपास करना पर्याप्त है।

साथ ही, लेस विधि पूरी तरह से बाहरी विचार नहीं है। इसके मूल में त्रिभुजों के उन्मुख क्षेत्र भी निहित हैं। बस मध्यवर्ती निर्माणों को एक छोटे एल्गोरिथ्म में संक्षिप्त किया जाता है, और अतिरिक्त क्षेत्रों को स्वचालित रूप से घटा दिया जाता है।

यह एक प्राकृतिक सीखने का क्रम बनाता है:

1. बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित करें।
2. प्रत्येक भाग के क्षेत्रफल की गणना करें।
3. दोहराई जाने वाली क्रियाओं को देखें।
4. एक ऐसी विधि में महारत हासिल करें जो उन्हें एक पास में संक्षिप्त करती है।
5. दो समाधानों की लागत की तुलना करें।

यहाँ ज्यामिति स्वाभाविक रूप से एल्गोरिथ्म और कम्प्यूटेशनल जटिलता से जुड़ी हुई है।

बच्चा सवाल पूछना शुरू करता है:

• कितनी क्रियाओं की आवश्यकता होगी;
• कौन सा डेटा आवश्यक है;
• कितने मध्यवर्ती वस्तुओं का निर्माण करना होगा;
• त्रुटि की संभावना कहाँ अधिक है;
• किस विधि को स्वचालित करना आसान है;
• शीर्षों की संख्या में वृद्धि के साथ काम की मात्रा कितनी तेजी से बढ़ती है।

वह न केवल सूत्रों का अध्ययन कर रहा है, बल्कि पद्धति के चयन के सिद्धांतों का भी अध्ययन कर रहा है।

विशेष सूत्र समझ में आने वाले संक्षिप्त रूप बन जाते हैं

सार्वभौमिक तरीकों में महारत हासिल करने के बाद, कोई परिचित आकृतियों पर लौट सकता है।

उदाहरण के लिए, आयत के क्षेत्रफल की गणना हमेशा लेस विधि द्वारा की जा सकती है। लेकिन यदि लंबाई a और चौड़ाई b ज्ञात हैं, तो गणना कम हो जाती है:

S = ab

समानांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल को सार्वभौमिक समन्वय पद्धति द्वारा पाया जा सकता है, लेकिन ज्ञात ऊँचाई के साथ यह पर्याप्त है:

S = ah

समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल को निर्देशांक के माध्यम से या त्रिभुजों में विभाजन द्वारा भी प्राप्त किया जा सकता है। ज्ञात आधारों a, b और ऊँचाई h के साथ, गणना कम हो जाती है:

S = ((a + b) / 2) · h

इस क्रम में, विशेष सूत्र सार्वभौमिक तरीकों के साथ प्रतिस्पर्धा नहीं करते हैं और न ही उन्हें प्रतिस्थापित करते हैं।

वे एक स्पष्ट प्रश्न का उत्तर देते हैं:

यदि आकृति में अतिरिक्त गुण पाए जाते हैं, तो कौन सी गणना छोड़ी जा सकती है?

छात्र न केवल सूत्र को देखता है, बल्कि इसकी प्रयोज्यता की कीमत को भी देखता है।

आयत का सूत्र लेस विधि से छोटा है, लेकिन इसके लिए यह साबित करने या स्थिति से प्राप्त करने की आवश्यकता होती है कि हमारे सामने वास्तव में एक आयत है।

सार्वभौमिक विधि लंबी है, लेकिन इसके लिए आकृति को पहले से वर्गीकृत करने की आवश्यकता नहीं है।

विधि की पसंद उपलब्ध डेटा पर निर्भर करती है

समाधान का सबसे अच्छा तरीका केवल आकृति के प्रकार से निर्धारित नहीं होता है।

यदि आयत की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात है, तो इसका उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है:

S = ab

यदि इसके शीर्षों के निर्देशांक केवल ज्ञात हैं, तो लेस विधि अधिक सीधी हो सकती है: आकृति की लंबाई, चौड़ाई और ओरिएंटेशन को अलग से निर्धारित करने की कोई आवश्यकता नहीं होगी।

यदि निर्देशांक के बिना एक कागजी ड्राइंग दी जाती है, तो आकृति को मापा जा सकता है और भागों में विभाजित किया जा सकता है।

यदि हमारे सामने एक मिलियन शीर्षों के साथ एक डिजिटल समोच्च है, तो मैन्युअल विभाजन अपना अर्थ खो देता है। डेटा के पूरे सरणी को संसाधित करने में सक्षम प्रोग्राम का उपयोग करना आवश्यक है।

इसलिए, सही सवाल यह नहीं है:

कौन सा सूत्र इस आकृति के नाम से मेल खाता है?

बल्कि यह है:

कौन सी विधि उस डेटा का सबसे अच्छा उपयोग करती है जो हमारे पास पहले से है?

यह स्कूली टेम्पलेट्स के प्रजनन से एल्गोरिथ्म सोच में बदलाव है।

वास्तविक आकृतियों में शायद ही कभी आदर्श गुण होते हैं

पाठ्यपुस्तक में कोण या तो 90° होता है या नहीं होता है।

वास्तविक माप में यह हो सकता है:

89,7° ± 0,5°

अब यह पूछना संभव नहीं है: "यह आयत है या नहीं?"

सबसे पहले स्वीकार्य त्रुटि निर्धारित करना आवश्यक है।

एक अनुमानित कमरे की योजना के लिए एक विचलन तुच्छ हो सकता है। एक सटीक हिस्सा बनाने के लिए वही विचलन अस्वीकार्य होगा।

सख्त समानता के बजाय शर्त दिखाई देती है:

|α - 90°| < ε

जहाँ ε उद्देश्य के आधार पर स्वीकार्य विचलन है।

यह आदर्श नामित आकृतियों के माध्यम से सीखने की एक और सीमा दिखाता है। वास्तविक वस्तु को स्कूली कक्षाओं में से किसी एक से सटीक रूप से संबंधित होने की आवश्यकता नहीं है।

सार्वभौमिक विधियाँ अंतिम वर्गीकरण के बिना भी इसके साथ काम करना संभव बनाती हैं:

• सभी भुजाओं को मापें;
• क्षेत्रफल की गणना करें;
• कोणों का मूल्यांकन करें;
• विचलन की डिग्री निर्धारित करें;
• परिणाम की त्रुटि की रिपोर्ट करें।

नाम वैकल्पिक हो जाता है।

हम वस्तु का अध्ययन कर सकते हैं, भले ही हमने यह तय न किया हो कि इसे आयत माना जाए या नहीं।

कंप्यूटर को गणना करनी चाहिए, और मनुष्य को समाधान समझना चाहिए

बड़ी संख्या में शीर्षों के साथ, कोई भी प्रत्येक पक्ष पर दूरी के सूत्र को मैन्युअल रूप से लागू नहीं करेगा या कागज पर लेस विधि नहीं लिखेगा।

इस काम को कंप्यूटर या AI को सौंपना उचित है।

एक आधुनिक प्रणाली कर सकती है:

• आकृति की सीमा को पहचानें;
• शीर्षों को उजागर करें;
• बाईपास के क्रम को निर्धारित करें;
• चौराहों को खोजें;
• एल्गोरिथ्म चुनें;
• परिमाप और क्षेत्रफल की गणना करें;
• त्रुटि का मूल्यांकन करें;
• खोजे गए गुणों को दिखाएं।

लेकिन मनुष्य के लिए यह समझना अभी भी उपयोगी है:

• सिस्टम क्या शीर्ष मानता है;
• यह किस डेटा का उपयोग करता है;
• क्या समोच्च बंद है;
• किस इकाई में परिणाम प्राप्त हुआ है;
• क्या छेदों को ध्यान में रखा जाता है;
• स्व-चौराहे पर क्या होगा;
• चुना गया एल्गोरिथ्म लागू क्यों है;
• उत्तर की plausibility (विश्वसनीयता) की जाँच कैसे करें।

इसके लिए एक मिलियन बिंदुओं को मैन्युअल रूप से संसाधित करने की आवश्यकता नहीं है। न्यूनतम ज्यामितीय कोर और उपयोग की जाने वाली विधि के उपकरण को समझना आवश्यक है।

सीखने का उद्देश्य बदल जाता है।

नहीं:

किसी व्यक्ति को कंप्यूटर के बजाय सभी गणना करने के लिए प्रशिक्षित करना।

बल्कि:

किसी व्यक्ति को वस्तु को समझने, विधि का चयन करने या नियंत्रित करने और गणना परिणाम की जाँच करने के लिए प्रशिक्षित करना।

बहुभुजों का एक अन्य पाठ्यक्रम कैसा दिख सकता है

प्रशिक्षण को निम्नलिखित क्रम में बनाया जा सकता है।

1. यादृच्छिक आकृति

बच्चा बिना किसी विशेष नाम के एक समोच्च प्राप्त करता है और शीर्षों, भुजाओं, विकर्णों और कोणों को उजागर करना सीखता है।

2. सार्वभौमिक माप

वह निर्देशांक, दूरियों, दिशाओं, परिमाप और क्षेत्रफल में महारत हासिल करता है।

3. सार्वभौमिक समाधान

वह आकृति को त्रिभुजों में विभाजित करना सीखता है और किसी भी साधारण बहुभुज के साथ काम करने का तरीका प्राप्त करता है।

4. एल्गोरिथम संक्षिप्त रूप

शीर्षों की संख्या में वृद्धि के साथ, मैन्युअल त्रिकोणाकरण की उच्च लागत का पता चलता है। लेस विधि या इसके समान स्वचालन उत्पन्न होता है।

5. गुणों की खोज

बच्चा जाँच करता है:

• कौन सी भुजाएँ बराबर हैं;
• कौन सी भुजाएँ समानांतर हैं;
• समकोण कहाँ स्थित हैं;
• विकर्ण कैसे संबंधित हैं;
• विभिन्न आकृतियों में कौन से गुण दोहराए जाते हैं।

6. वर्गीकरण

गुणों के स्थिर संयोजनों के लिए नाम दर्ज किए जाते हैं:

• समानांतर चतुर्भुज;
• आयत;
• समचतुर्भुज;
• वर्ग;
• समलम्ब चतुर्भुज।

7. विशिष्ट अनुकूलन

सामान्य विधियों से अतिरिक्त प्रतिबंधों वाली आकृतियों के लिए छोटे सूत्र प्राप्त किए जाते हैं।

8. स्वचालन और सत्यापन

बच्चा बड़ी संख्या में शीर्षों वाली आकृतियों पर तालिका, प्रोग्राम या AI लागू करता है और प्राप्त परिणाम की जाँच करना सीखता है।

ऐसे पाठ्यक्रम में नाम और विशेष सूत्र गायब नहीं होते हैं। वे बस अपना प्राकृतिक स्थान लेते हैं।

नाम उपयोगी हैं, लेकिन आधार नहीं होना चाहिए

शर्तें गुणों के बड़े सेटों को तेज़ी से प्रसारित करने की अनुमति देती हैं।

"वर्ग" कहना हर बार सूचीबद्ध करने की तुलना में अधिक सुविधाजनक है:

• चार भुजाएँ;
• सभी भुजाएँ बराबर हैं;
• सभी कोण समकोण हैं;
• विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं;
• विकर्ण बराबर होते हैं;
• विकर्ण लंबवत होते हैं;
• विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

विशिष्ट सूत्र गणना को भी बचाते हैं।

समस्या नामों और सूत्रों के कारण नहीं, बल्कि उनके अध्ययन के क्रम के कारण उत्पन्न होती है।

यदि बच्चा पहले नाम को याद रखता है, और फिर इसे गुणों की सूची के साथ जोड़ने की कोशिश करता है, तो ज्यामिति पारंपरिक पदनामों की एक सूची में बदल जाती है।

यदि वह पहले वस्तु का अध्ययन करता है, गुणों का पता लगाता है और बार-बार होने वाली गणनाओं का सामना करता है, तो नाम और सूत्र पहले से ही समझी गई आवश्यकता का उत्तर बन जाते हैं।

तब:

• "आयत" सिद्ध शर्तों के सेट को संकुचित करता है;
• S = ab सार्वभौमिक क्षेत्र की गणना को छोटा करता है;
• लेस विधि बड़ी संख्या में शीर्षों के प्रसंस्करण को गति देती है;
• प्रोग्राम दोहराए जाने वाले कार्यों को स्वचालित करता है;
• AI छवि से गणितीय मॉडल में परिवर्तन करने में मदद करता है।

प्रत्येक नया स्तर पिछले स्तर को प्रतिस्थापित नहीं करता है, बल्कि इसे अनुकूलित करता है।

ज्यामिति को अज्ञात का अध्ययन करना सिखाना चाहिए

बच्चे के लिए हर बहुभुज के नाम को याद रखना आवश्यक नहीं है।

यह बहुत अधिक महत्वपूर्ण है कि जब वह किसी अज्ञात आकृति से मिले, तो वह पूछ सके:

1. यह किन तत्वों से बना है?
2. इसके बारे में कौन सा डेटा ज्ञात है?
3. क्या मापा या गणना किया जा सकता है?
4. किन गुणों को साबित किया जा सकता है?
5. यहाँ कौन सी सार्वभौमिक विधि लागू है?
6. क्या पाए गए गुणों के कारण समाधान को छोटा किया जा सकता है?
7. क्या मैन्युअल रूप से गणना करना उचित है या इसे किसी उपकरण को सौंपना चाहिए?
8. परिणाम की जाँच कैसे करें?

ऐसी सोच तब भी काम करती रहती है जब आकृति स्कूली तस्वीर जैसी नहीं रह जाती है, शीर्षों की संख्या बड़ी हो जाती है, डेटा में त्रुटि होती है, और गणना कंप्यूटर द्वारा की जाती है।

बहुभुज के अध्ययन का मुख्य परिणाम तब समचतुर्भुज को समलम्ब चतुर्भुज से अलग करने की क्षमता नहीं बनता है।

बच्चा अधिक सार्वभौमिक कौशल में महारत हासिल करता है:

किसी अज्ञात वस्तु को लें, इसे गणनीय रूप में प्रस्तुत करें, इसे सामान्य विधियों से अध्ययन करें, पैटर्न का पता लगाएं और उसके बाद ही समाधान में तेजी लाने के लिए नामों और छोटे सूत्रों का उपयोग करें।

यह ठीक वही है जो ज्यामिति बच्चे को एल्गोरिदम, प्रोग्रामिंग और वास्तविक इंजीनियरिंग समस्याओं का सामना करने से बहुत पहले सिखा सकती है।